A função f(x) , determinada pelo campo simétrico -l < x < l , chamar-se par, se f(-x) = f(x) , e ímpar, se f(-x) = -f(x) . Verificar quais das funções dadas são pares e quais são ímpares:

  1. f(x) = 1 / 2 (a^x + a^(-x)) ;
  2. f(x) = raiz(1 + x + x^2) - raiz(1 - x + x^2) ;
  3. f(x) = raiz((x + 2)^2, 3) + raiz((x - 1)^2, 3) ;
  4. f(x) = lg( (1 + x) / (1 - x) ) ;
  5. f(x) = lg(x + raiz(1 + x^2))

Passo 1

  1. f x = 1 2 ( a x + a - x )
  2. Para verificar se é par:

    f - x = f ( x )

    1 2 a - x + a - - x = 1 2 ( a x + a - x )

    1 2 a - x + a x = 1 2 a x + a - x

    A igualdade é verdadeira, portanto a função é par!Não precisamos então verificar se é ímpar.

    Passo 2

  3. f x = 1 + x + x 2 - 1 - x + x 2
  4. Para verificar se é par:

    f - x = f ( x )

    1 + - x + - x 2 - 1 - - x + - x 2 = 1 + x + x 2 - 1 - x + x 2

    1 - x + x 2 - 1 + x + x 2 = 1 + x + x 2 - 1 - x + x 2

    A igualdade não é verdadeira, pois os sinais dos termos estão trocados. Portanto a função não é par!

    Verificando se é ímpar:

    1 - x + x 2 - 1 + x + x 2 = - 1 + x + x 2 - 1 - x + x 2

    1 - x + x 2 - 1 + x + x 2 = - 1 + x + x 2 + 1 - x + x 2

    A igualdade é verdadeira, portanto a função é ímpar!

    Passo 3

  5. f x = x + 2 2 3 + x - 1 2 3
  6. Para verificar se é par:

    f - x = f ( x )

    ( - x ) + 2 2 3 + ( - x ) - 1 2 3 = x + 2 2 3 + x - 1 2 3

    2 - x 2 3 + - x - 1 2 3 = x + 2 2 3 + x - 1 2 3

    4 - 4 x + x 2 3 + x 2 + 2 x + 1 3 = x 2 + 4 x + 4 3 + x 2 - 2 x + 1 3

    A igualdade não é verdadeira, portanto não é par.

    Para verificar se é ímpar:

    f - x = - f ( x )

    ( - x ) + 2 2 3 + ( - x ) - 1 2 3 = - x + 2 2 3 + x - 1 2 3

    4 - 4 x + x 2 3 + x 2 + 2 x + 1 3 = - x 2 + 4 x + 4 3 + x 2 - 2 x + 1 3

    4 - 4 x + x 2 3 + x 2 + 2 x + 1 3 = - x 2 + 4 x + 4 3 - x 2 - 2 x + 1 3

    4 - 4 x + x 2 3 + x 2 + 2 x + 1 3 = - ( - 1 ) ( - x 2 - 4 x - 4 ) 3 - ( - 1 ) ( - x 2 + 2 x - 1 ) 3

    4 - 4 x + x 2 3 + x 2 + 2 x + 1 3 = - ( - 1 ) ( - x 2 - 4 x - 4 ) 3 - ( - 1 ) ( - x 2 + 2 x - 1 ) 3

    4 - 4 x + x 2 3 + x 2 + 2 x + 1 3 = - x 2 - 4 x - 4 3 + - x 2 + 2 x - 1 3

    Logo, a função também não é ímpar.

    Lembrando que uma função não é necessariamente ímpar ou par, como é o caso desta.

    Passo 4

  7. f x = lg ⁡ 1 + x 1 - x
  8. Para verificar se é par:

    f - x = f ( x )

    lg ⁡ 1 + ( - x ) 1 - ( - x ) = lg ⁡ 1 + x 1 - x

    lg ⁡ 1 - x 1 + x = lg ⁡ 1 + x 1 - x

    1 - x 1 + x = 1 + x 1 - x

    1 - x 1 - x = 1 + x 1 + x

    1 - 2 x + x 2 = 1 + 2 x + x 2

    - 2 x = 2 x

    A igualdade não é verdadeira. Logo, a função não é par!

    Para verificar se é ímpar:

    f - x = - f ( x )

    lg ⁡ 1 + ( - x ) 1 - ( - x ) = - lg ⁡ 1 + x 1 - x

    lg ⁡ 1 - x 1 + x = - lg ⁡ 1 + x 1 - x

    1 - x 1 + x = - 1 + x 1 - x

    1 - x 1 + x = - 1 - x - 1 + x

    1 - x - 1 + x = - 1 - x 1 + x

    - 1 + 2 x - x 2 = - 1 - 2 x - x 2

    2 x = - 2 x

    A igualdade não é verdadeira, portanto, também não é ímpar a função.

    Passo 5

  9. f x = lg ⁡ x + 1 + x 2

Para verificar se é par:

f - x = f ( x )

lg ⁡ - x + 1 + - x 2 = lg ⁡ x + 1 + x 2

lg ⁡ - x + 1 + x 2 = lg ⁡ x + 1 + x 2

- x + 1 + x 2 = x + 1 + x 2

- x = x

Como podemos ver, a igualdade não é verdadeira, portanto, não é par.

Para verificar se é ímpar:

f - x = - f ( x )

lg ⁡ - x + 1 + - x 2 = - lg ⁡ x + 1 + x 2

lg ⁡ - x + 1 + x 2 = - lg ⁡ x + 1 + x 2

Atentando ao detalhe no segundo termo:

lg ⁡ - x + 1 + x 2 = - 1 ∙ lg ⁡ x + 1 + x 2

Logo, poderemos aplicar a seguinte propriedade do logaritmo, que diz:

A log ⁡ B = log ⁡ B A

Então, teremos:

lg ⁡ - x + 1 + x 2 = lg ⁡ x + 1 + x 2 - 1

Assim:

lg ⁡ - x + 1 + x 2 = lg ⁡ 1 x + 1 + x 2

Então, podemos igualar os logaritmandos:

- x + 1 + x 2 = 1 x + 1 + x 2

Como podemos ver, a igualdade não é verdadeira. Logo, a função também não é ímpar!

Resposta

E aí, o que achou do desenvolvimento para verificar se as funções são ímpares, pares ou nenhum dos dois?Ficou alguma dúvida??