Uma funcion f: R^2 → R es independiente de la segunda variable si para cada x ∈ R se tiene f(x, y₁) = f(x, y₂) para cada y_1, y_2 ∈ R . Probar que f es independiente de la segunda variable, si e y sólo si existe uma funcion g: R → R tal que f(x, y) = g(x) . como se expressa f'(a, b) por medio de g' ?

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Bom, o obviamente dito:

f x , y i = g x , 0

Ou seja, que g não depende da segunda variável, ou seja:

f x , y = g ( x )

É intuitivo falarmos que se x=a e y=b:

f ' a , b = ( g ' a , 0 )

Mas seria fácil demais, ne?! Faremos isso matematicamente.

Colas comigo pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir

Assim, como o dito:

f x , y 1 = g x = f x , y 2

Tomemos um pequeno intervalo a + h e b + k , assim:

lim h , k → 0 ⁡ f a + h , b + k - f a , b - g ' a h h , k

Como g não depende da segunda variável b = y

lim h , k → 0 ⁡ g a + h - g a - g ' a h h , k

lim h , k → 0 ⁡ g a + g ( h ) - g a - g ' a h h , k

lim h , k → 0 ⁡ + g h - g ' a h h , k = 0

E usamos que:

f ' a , b = ( g ' a , 0 )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)