f(x)=2x-7, a=-1, L=-9, épsilon um número positivo pequeno arbitrario.

Passo 1

Opa galeeeeera! Hoje vamos ver mais um pouco sobre a definição precisa de limites.

O enunciado nos pede para achar um valor positivo de δ , para o limite de f x = 2 x - 7     com x tendendo a - 1 para um ϵ arbitrario.

Vamos começar desenhando o gráfico da função para termos uma intuição melhor.

E também vamos marcar o ponto x = a , x = a - δ e x = a + δ tracejar até a reta da função e achar os valores de f ( a + δ ) , f ( a - δ ) e marcar o ponto y = L , assim como representado a baixo.

Passo 2

Vamos calcular o valor de cada um destes:

O enunciado diz que a = - 1 , L = - 9 e vamos arbitrar que ϵ = 0 . 0 1 ,   Então:

L + ϵ = - 8 . 99

L - ϵ = - 9 . 01

Agora precisamos encontrar algum valor de δ de forma que quando pegarmos f a - δ e f a + δ esses dois valores estejam dentro do intervalo encontrado ( - 9.01 ,   - 8 . 99 ) .

Para isso poderemos utilizar claramente um δ = 0.0 0 05 (relativamente menor do que o ϵ ) , e vamos testar se os valores de pegarmos f ( a - δ ) e f ( a + δ ) estão no intervalo pedido.

Passo 3

Assim: f a + δ = 2 x - 7

Substituindo os valores:

f - 1 + 0.00 0 5 = 2 ⋅ ( - 0.9995 ) - 7 = - 8.999

E o valor superior:

f a - δ = 2 ⋅ ( - 1 . 000 5 ) - 7 = - 9.001

Como ambos os valores encontrados estão dentro do intervalo pedido ( - 9.01 ,   - 8.99 ) . Como podemos ver na comparação a baixo:

- 9.01 < - 9.001 < - 8.999 < 8.99

Então o δ encontrado satisfaz o enunciado.

Resposta

δ = 0.0005