O gráfico de uma função diferenciável y = y(x) passa pelo ponto (0, 1) e em cada ponto P(x, y) do gráfico a reta tangente é perpendicular à reta que passa por P e pela origem. Encontre um problema de valor inicial cuja solução seja y(x).

Passo 1

Para resolvermos essa questão, vamos utilizar a ideia base de retas. Olha só, a imagem abaixo demonstra exatamente o problema da questão, temos uma reta (r: azul claro) que sai da origem do plano cartesiano e passa pelo ponto P(x,y), nesse ponto P há uma reta perpendicular (s: azul escuro).

Passo 2

Até aqui tá beleza, né?

Continuando, sabendo que a reta “r” e “s” são perpendiculares, podemos considerar que o coeficiente angular é:

m 1 * m 2 = - 1

Sendo m 1 → coeficiente angular de r e m 2 → coeficiente angular de s

Passo 3

Ou seja, em relação aos coeficientes angulares podemos considerar:

y ' x |   x = m 1

Então:

y ' x |   x = - 1 m 2                       ,                 y =   m 2   x     →     m 2 = y x

Se substituirmos, temos que:

y ' x |   x = - 1 y x =   - x y

Reescrevendo

d y d x = - x y

Resposta

d y d x = - x y