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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 13.7 - Ex. 1

1. x y^(' ') + y^' = 2 x , x > 0

Passo 1

Antes de aplicarmos o modelo de variação de parâmetros aprendidos, temos que achar a resposta da homogênea:

x y^(' ') + y^' = 0

Trocando y^' = u ...

x u^' + u = 0 ->

u^' + (1)/(x) u = 0

Lembre-se de que a resposta dessa EDO de primeira ordem é:

u = A e^(- int p (x) d x)

Onde o p (x) = (1)/(x) nesse caso. Então...

u = A e^(- int (1)/(x) d x) ->

u = A e^(- ln |x|) ->

u = A e^(ln |x|^(- 1)) ->

u = A x^(- 1) =

(A)/(x)

Poxa, como y^' = u , e queremos encontrar y , podemos integrar dos dois lados...

y_h = int (A)/(x) d x ->

y_h = A ln |x| + B

A e B são as constantes de integração do nosso problema. As soluções fundamentais então são:

y_h = A f_1 (x) + B f_2 (x) -> f_1 (x) = ln |x| e f_2 (x) = 1

Passo 2

A resposta da particular pode ser encontrada pelo método de variação de parâmetros:

y_p = - f_1 (x) int (f_2 (x) r (x))/(W (x)) d x + f_2 (x) int (f_1 (x) r (x))/(W (x)) d x

Onde r (x) = 2 x (função que torna a EDO não homogênea), já W (x) é o wronskiano das soluções fundamentais:

W (x) = |[[f_1,(x),f_2,(x)],[f_1^',(x),f_2^',(x)]]| ->

W (x) = |[[ln x,1],[(1)/(x),0]]| =

- (1)/(x)

Então...

y_p = - f_1 (x) int (f_2 (x) r (x))/(W (x)) d x + f_2 (x) int (f_1 (x) r (x))/(W (x)) d x ->

y_p = - ln (x) int (1 * 2 x)/(- (1)/(x)) d x + 1 int (ln |x| 2 x)/(- (1)/(x)) d x ->

y_p = ln (x) int 2 x^2 d x - int 2 x^2 ln |x| d x ->

Calculando ambas integrais...

y_p = ln (x) (2 * (x^3)/(3)) - (2)/(3) x^3 ln x + (2)/(9) x^3

Passo 3

A resposta final então será:

y = y_h + y_p

Como a homogênea foi...

y_h = A ln |x| + B

Então, a resposta geral vai ser:

y = A ln |x| + B + ln (x) (2 * (x^3)/(3)) - (2)/(3) x^3 ln x + (2)/(9) x^3

Resposta

y = A ln |x| + B + ln (x) (2 * (x^3)/(3)) - (2)/(3) x^3 ln x + (2)/(9) x^3

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