2. x^2 * y'' + x * y' - y = x^2, x > 0

Passo 1

Antes de aplicarmos o modelo de variação de parâmetros aprendidos, temos que achar a resposta da homogênea:

x^2 y^(' ') + x y^' - y = 0

Essa é uma EDO de Euler Cauchy, como esta daqui:

x^2 y^(' ') + alpha x y^' + beta y = 0

Onde a equação característica que precisamos resolver é:

r^2 + (alpha - 1) r + beta = 0

Então substituindo os valores de alpha e beta do nosso caso...

r^2 + (1 - 1) r - 1 = 0 ->

r^2 - 1 = 0 ->

r^2 = 1 ->

r = +- 1

Ou seja:

r_1 = 1 e r_2 = - 1

A resposta da EDO homogênea então será:

y_h = c_1 x^(r_1) + c_2 x^(r_2) ->

y_h = c_1 x^() + c_2 x^(- 1)

Nesse caso, as soluções fundamentais são f_1 (x) = x , f_2 (x) = x^(- 1) .

Passo 2

A resposta da particular pode ser encontrada pelo método de variação de parâmetros:

y_p = - f_1 (x) int (f_2 (x) r (x))/(W (x)) d x + f_2 (x) int (f_1 (x) r (x))/(W (x)) d x

Onde r (x) = x^2 (função que torna a EDO não homogênea), já W (x) é o wronskiano das soluções fundamentais:

W (x) = |[[f_1,(x),f_2,(x)],[f_1^',(x),f_2^',(x)]]| ->

W (x) = |[[x,x^(- 1)],[1,-,x^(- 2)]]| =

- x^(- 2) x - x^(- 1) =

- x^(- 1) - x^(- 1) = - 2 x^(- 1)

Então...

y_p = - f_1 (x) int (f_2 (x) r (x))/(W (x)) d x + f_2 (x) int (f_1 (x) r (x))/(W (x)) d x ->

y_p = - x int (x^(- 1) * x^2)/(- 2 x^(- 1)) d x + x^(- 1) int (x * x^2)/(- 2 x^(- 1)) d x ->

y_p = x int (x^2)/(2) d x - x^(- 1) int (x^4)/(2) d x ->

Calculando ambas integrais...

y_p = x ((1)/(2 * 3) x^3) - x^(- 1) ((1)/(2 * 5) x^5) ->

y_p = ((1)/(6) x^4) - ((1)/(10) x^4) ->

y_p = ((1)/(15) x^4)

Passo 3

A resposta final então será:

y = y_h + y_p

Como a homogênea foi...

y_h = c_1 x + c_2 x^(- 1)

Então, a resposta geral vai ser:

y = c_1 x + c_2 x^(- 1) + ((1)/(15) x^4)

Resposta

y = c_1 x + c_2 x^(- 1) + ((1)/(15) x^4)

Ver Outros Exercícios desse livro