Hallar la derivadas parciales de las seguintes funciones (donde g : R → R es continua):

  1. f x , y = ∫ a x + y d g
  2. f x , y = ∫ y x d g
  3. f x , y = ∫ a x y d g
  4. f x , y = ∫ a ∫ b y d g d g

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

O processo de integração é simples, vamos lá?

Para a)

f x , y = ∫ a x + y g

Assim:

D   f x , y = D ∫ a x + y g

Sendo D o operador diferencial.

A derivada com relação ao x e y é igual, sendo

D ∫ a x + y g = g ( x + y )

Assim:

D x f x , y = D y f x , y = g ( x + y )

Assim:

f ' a , b = g x + y ,     g x + y

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Para b)

f x , y = ∫ y x g

Assim:

D   f x , y = D ∫ y x g

A derivada em relação ao x é:

D x ∫ y x g = g x

E em relação ao y:

D y ∫ y x g = g ( - y )

Portanto:

f ' x , y = g x ,     g - y

Resposta

Para a)

f ' x , y = g x + y ,     g x + y

Para b)

f ' x , y = g x ,     g - y