Hallar la derivadas parciales de la seguintes funciones:

  1. f(x, y, z) = x^y
  2. f(x, y, z) = z
  3. f(x, y, z) = sen(x * sen(y))
  4. f(x, y, z) = sen(x) * sen(y * sen(z))
  5. f(x, y, z) = x^y^z
  6. f(x, y, z) = x^(y + z)
  7. f(x, y, z) = (x + y)^z
  8. f(x, y, z) = sen(xy)
  9. f(x, y, z) = [sen(xy)]^cos(3)

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Se você chegou até aqui, deve ter passado pelo exercício 2-10

Onde resolvemos essas mesmas integrais, lembra?

Para g)

A derivada em relação ao x é:

∂ ∂ x x + y z = z x + y z - 1

Que igual a derivada em relação ao y.

A derivada em relação ao z:

∂ ∂ z x + y z = ln ⁡ x + y   x + y z

Portanto:

f ' x , y , z = z x + y z - 1 ,     z x + y z - 1 ,     ln ⁡ x + y   x + y z

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Para h)

A derivada em relação ao x é:

∂ ∂ x s e n   x y = y cos ⁡ x y

A derivada em relação ao y é:

∂ ∂ y   s e n x y = x cos ⁡ x y

A derivada em relação ao z é:

∂ ∂ z   s e n x y = 0

Portanto:

f ' x , y , z = y cos ⁡ x y ,     x cos ⁡ x y ,     0

Passo 3

Para i)

A derivada em relação ao x é:

∂ ∂ x s e n   x y cos ⁡ 3 = cos ⁡ 3 s e n x y cos ⁡ 3 - 1 y cos ⁡ x y

A derivada em relação ao y é:

∂ ∂ y s e n   x y cos ⁡ 3 = cos ⁡ 3 s e n x y cos ⁡ 3 - 1 x cos ⁡ x y

A derivada em relação ao z é:

∂ ∂ z s e n   x y cos ⁡ 3 = 0

Portanto:

f ' x , y , z = cos ⁡ 3 s e n x y cos ⁡ 3 - 1 y cos ⁡ x y ,     cos ⁡ 3 s e n x y cos ⁡ 3 - 1 x cos ⁡ x y ,     0  

Resposta

para g)

f ' x , y , z = z x + y z - 1 ,     z x + y z - 1 ,     ln ⁡ x + y   x + y z

Para h)

f ' x , y , z = y cos ⁡ x y ,     x cos ⁡ x y ,     0

Para i)

f ' x , y , z = cos ⁡ 3 s e n x y cos ⁡ 3 - 1 y cos ⁡ x y ,     cos ⁡ 3 s e n x y cos ⁡ 3 - 1 x cos ⁡ x y ,     0