Hallar la derivadas parciales de la seguintes funciones:

  1. f(x, y, z) = x^y
  2. f(x, y, z) = z
  3. f(x, y, z) = sen(x * sen(y))
  4. f(x, y, z) = sen(x) * sen(y * sen(z))
  5. f(x, y, z) = x^(y^z)
  6. f(x, y, z) = x^(y + z)
  7. f(x, y, z) = (x + y)^z
  8. f(x, y, z) = sen(xy)
  9. f(x, y, z) = [sen(xy)]^cos(3)

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Se você chegou até aqui, deve ter passado pelo exercício 2-10

Onde resolvemos essas mesmas integrais, lembra?

Para d)

A derivada em relação ao x é:

∂ ∂ x s e n x   s e n y   s e n   z = s e n y   s e n z cos ⁡ x   s e n y   s e n z

E a derivada em relação ao y é:

∂ ∂ y s e n x   s e n y   s e n   z = cos ⁡ x   s e n y   s e n z   x cos ⁡ y   s e n z   s e n z

A derivada em relação ao z é:

∂ ∂ z s e n x   s e n y   s e n   z = cos ⁡ x   s e n y   s e n z cos ⁡ y   s e n z   x y cos ⁡ z

Assim:

f ' x , y , z = D x D y D z = s e n y   s e n z cos ⁡ x   s e n y   s e n z cos ⁡ x   s e n y   s e n z   x cos ⁡ y   s e n z   s e n z cos ⁡ x   s e n y   s e n z cos ⁡ y   s e n z   x y cos ⁡ z

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Para e)

A derivada em relação ao x é:

∂ ∂ x x y z = y z   x y z - 1

A derivada em relação ao y é:

Antes:

x y z = e ln ⁡ x y z = e y z ln ⁡ x

Assim:

∂ ∂ y x y z = x y z z y z - 1 ln ⁡ x

A derivada em relação ao z é:

∂ ∂ z x y z = x y z ln ⁡ x y z   ln ⁡ y

Portanto:

f ' x , y , z = e y z ln ⁡ x ,     x y z z y z - 1 ln ⁡ x ,     x y z ln ⁡ x y z   ln ⁡ y

Passo 3

Para f)

A derivada em relação ao x é:

∂ ∂ x x y + z = y + z x y + z - 1

E a derivada em relação y é igual a derivada em z, que é:

∂ ∂ y = ∂ ∂ z = x y + z ln ⁡ x

Assim:

f ' x , y , z = y + z x y + z - 1 ,     x y + z ln ⁡ x ,                 x y + z ln ⁡ x

Resposta

Para d)

f ' x , y , z = D x D y D z = s e n y   s e n z cos ⁡ x   s e n y   s e n z cos ⁡ x   s e n y   s e n z   x cos ⁡ y   s e n z   s e n z cos ⁡ x   s e n y   s e n z cos ⁡ y   s e n z   x y cos ⁡ z

Para e)

f ' x , y , z = e y z ln ⁡ x ,     x y z z y z - 1 ln ⁡ x ,     x y z ln ⁡ x y z   ln ⁡ y

Para f)

f ' x , y , z = y + z x y + z - 1 ,     x y + z ln ⁡ x ,                 x y + z ln ⁡ x