Hallar las derivadas parciales de f por medio de las derivadas de g y de h si:

  1. f(x, y) = g(x) h(y)
  2. f(x, y) = g(x^h(y))
  3. f(x, y) = g(x)
  4. f(x, y) = g(y)
  5. f(x, y) = g(x + y)

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Veja como é simples. Saca só:

Para a)

A derivada com relação ao x (Veja que h(y) é constante em relação ao x):

∂ ∂ x g x h y = g ' x h ( y )

E para o y:

∂ ∂ y g x h y = g x h ' y

Portanto:

f ' x , y = g ' x h y ,     g x h ' y

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Para b)

A derivada com relação ao x (Veja que h(y) é constante em relação ao x):

∂ ∂ x g x h y = h y g x h y - 1

E para o y:

Antes:

g x h y = e ln ⁡ g x h y = e h y ln ⁡ g x

Assim:

∂ ∂ y e h y ln ⁡ g x = h ' y ln ⁡ g x   g x h y

Portanto:

f ' x , y = h y g x h y - 1 ,     h ' y ln ⁡ g x   g x h y    

Resposta

Para a)

f ' x , y = g ' x h y ,     g x h ' y

Para b)

f ' x , y = h y g x h y - 1 ,     h ' y ln ⁡ g x   g x h y