Hallar f’ para las seguintes funciones (donde g : R → R es continua):

  1. f x , y = ∫ a x + y g
  2. f x , y = ∫ a x y g
  3. f x , y , z = ∫ x y s e n x   s e n y   s e n z g

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

O processo de integração e derivação é bem simples, veja:

Para a)

D f x , y = D ∫ a x + y g = g x + y ,     g x + y

Ou seja, nós integramos g e depois derivamos, assim como:

D y ∫ 0 y x   d x = y

Mas no nosso caos g é uma função, mas o processo é similar. A derivada da integral é a própria função.

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Para b)

D f x , y = D ∫ a x y g = y   g x y ,     x g x y

Passo 3

Aqui onde as coisas já apertam. Mas já resolvemos essa derivada no problema 2-10 questão d, lembra?

Mas fica muito mais fácil se trivermosuma constante, não?! Podemos fazer:

f x , y , z = ∫ x y a g + ∫ a s e n x   s e n y   s e n z g

E:

∫ a s e n x   s e n y   s e n z g   - ∫ a x y g

Façamos Ω x , y , z = s e n x   s e n y   s e n z e k x , y , z = ∫ a Ω x , y , z g   e para facilitar ainda mais h x , y , z = ∫ a x y g

Então:

f x , y , z =   k x , y , z - h x , y , z

Logo:

f ' x , y , z = k ' x , y , z - h ' x , y , z

Assim só precisamos fazer as derivadas que já fizemos no item d da questão 2-10!!

Assim:

k ' x , y , z = ( cos ⁡ x sin ⁡ y sin ⁡ z * sin ⁡ y sin ⁡ z ,       x cos ⁡ y sin ⁡ z   sin ⁡ z , x y cos ⁡ y sin ⁡ z cos ⁡ z      

E:

h ' x , y , z = y ,     x ,     0

Assim definindo a derivade de f, f’.

Resposta

Para a)

D f x , y = g x + y ,     g x + y

Para b)

D f x , y = y   g x y ,     x g x y

Para c)

D f x , y , z = k ' x , y , z - h ' x , y , z

Sendo:

k ' x , y , z = ( cos ⁡ x sin ⁡ y sin ⁡ z * sin ⁡ y sin ⁡ z ,       x cos ⁡ y sin ⁡ z   sin ⁡ z , x y cos ⁡ y sin ⁡ z cos ⁡ z      

E:

h ' x , y , z = y ,     x ,     0