1. Identifique as equações lineares de 2ª ordem.

A - y'' + tan(x) + y' + e^x y = 0

B - y'' + x * tan(y') + x * y = 0 .

C - y'' + 3 * sen(y) = 0

D - y'' + x^2 * y' + x^3 * y = 0

E - x^2 * y'' = y * y'

F - x^2 y'' = sen(x) y' + 2y, x > 0

Passo 1

Pois bem, precisamos aqui, identificar as equações que são lineares de 2 ª ordem. As equações desse tipo são equações que possuem esse formato aqui:

y ' ' + p x y ' + q x y = f x

Caso estejamos falando de uma equação homogênea...

y ' ' + p x y ' + q x y = 0

Então partiu verificar item a item se eles possuem esse formato?

Passo 2

A - y ' ' + tan ⁡ x y ' + e x y = 0

Ora, aqui...

p x = tan ⁡ x             e           q x = e x

Logo, essa é uma equação linear!

Passo 3

B - y ' ' + x tan ⁡ y ' + x y = 0 .

OPA!!! Onde está o problema aqui? ISSO MESMO, aqui em negrito:

y ' ' + x tan ⁡ y ' + x y = 0

Deveria ser y ' . Com a tangente ela deixa de ser linear!

Passo 4

C - y ' ' + 3 sin ⁡ y = 0

Novamente, por causa de uma função trigonométrica envolvendo y , essa equação também não é linear!

Passo 5

D - y ' ' + x 2 y ' + x 3 y = 0

De boa, né?

Equação linear onde...

p x = x 2           e             q x = x 3

Passo 6

E - x 2 y ' ' = y y '

Outra forma de representar essa equação é assim...

x 2 y ' ' - y y ' = 0

Cuidado! Essa equação parece ser linear, mas ele tem um probleminha! Qual?

SIM! O produto de y ' pelo y . Isso a torna não linear.

Passo 7

F - x 2 y ' ' = sin ⁡ x y ' + 2 y ,     x > 0

Passando novamente os termos para um único lado...

x 2 y ' ' - sin ⁡ x y ' - 2 y = 0 ,     x > 0   →

E dividindo por x 2 ...

y ' ' - sin ⁡ x x 2 y ' - 2 x 2 y = 0 ,     x > 0  

SIM! Linear onde...

p x = - sin ⁡ x x 2         e       q x = - 2 x 2

Resposta

São lineares as equação nos itens A, D e F.

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