Quais das igualdades a seguir são sempre verdadeiras, e quais nem sempre são verdadeiras? Justifique sua resposta.

a .     | u | = u * u

b .     u   *   u   =   | u |

c .   u   *   0   =   0   *   u   =   0

d .   u   *   ( – u )   =   0

e .     u   *   v   =   v   *   u

f .     u   *   ( v   +   w )   =   u   *   v   +   u   *   w

g .   ( u   *   v ) * v   =   0

h .   u   *   v *   w   =   u   *   ( v   *   w )

Passo 1

Fala pessoaaal, como vocês estão? Espero que bem. Bora detonar mais uma questãozinha comigo!

Nessa questão, iremos desenvolver matematicamente cada expressão dessas e ver se a igualdade continua valendo!

  1. Nesse primeiro item, temos que
  2. u = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2

    e também temos que

    a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 = u * u

    portanto podemos dizer que essa igualdade é sempre verdadeira.

  3. Temos que
  4. u * u = u 2

    e também temos que

    u 2 ≠ u

    portanto podemos dizer que essa igualdade não é sempre verdadeira.

  5. Temos que
  6. u * 0 = i           j           k u 1       u 2       u 3 0           0           0

    e também temos que

    i           j           k u 1       u 2       u 3 0           0           0 = 0 i + 0 j + 0 k = 0

    Ou seja, obtemos uma soma igual a zero. Por sua vez temos

    0 * u = i           j           k 0               0             0 u 1           u 2           u 3

    e temos que

    i           j           k 0               0             0 u 1           u 2           u 3 = 0 u + 0 j + 0 k

    Ou seja, obtemos também uma soma igual a zero, portanto podemos dizer que essa igualdade é sempre verdadeira.

    Passo 2

  7. Temos que
  8. u * - u = i                     j                     k u 1           u 2           u 3 - u 1   - u 2     - u 3

    e também temos que

    i                     j                   k u 1           u 2           u 3 - u 1   - u 2     - u 3 = - u 2 u 3 + u 2 u 3 i - - u 1 u 3 + u 1 u 3 j + - u 1 u 2 + u 1 u 2 k , e por fim temos que

    - u 2 u 3 + u 2 u 3 i - - u 1 u 3 + u 1 u 3 j + - u 1 u 2 + u 1 u 2 k = 0

    portanto podemos dizer que essa igualdade é sempre verdadeira.

  9. Temos que
  10. i * j = k

    e também temos que

    k ≠ - k

    por fim,

    - k = j * i

    portanto podemos dizer que essa igualdade não é sempre verdadeira.

  11. Pela propriedade distributiva de vetores, podemos dizer que essa igualdade é sempre verdadeira. Essa propriedade é a mesma de quando multiplicamos números naturais entre parênteses!
  12. Passo 3

  13. Temos que
  14. u * v ∙ v = u ∙ v * v

    e também temos que

    u ∙ v * v = u ∙ 0

    e por sua vez,

    u ∙ 0 = 0

    portanto podemos dizer que essa igualdade é sempre verdadeira.

  15. Temos que o volume de um paralelepípedo com u, v e w ao longo das três arestas é o mesmo se o plano que contém u e v, ou o plano contendo v e w é usado como o plano base, e o produto escalar é comutativo. Portanto podemos dizer que essa igualdade é sempre verdadeira.

Espero que tenham curtido! Até a próxima questão! 😊

Resposta

  1. Sempre verdadeira
  2. Não é sempre verdadeira
  3. Sempre verdadeira
  4. Sempre verdadeira
  5. Não é sempre verdadeira
  6. Sempre verdadeira
  7. Sempre verdadeira
  8. Sempre verdadeira