Enunciado

Inércia e centro de massa de uma casca - Encontre I z e o centro de massa de uma casca fina de densidade δ x , y , z = z cortada a partir da porção superior da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 25 pelo plano z = 3 .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Levando em conta que z ≥ 3 temos que

x 2 + y 2 + z 2 = 25 → x 2 + y 2 = 25 - z 2

Como z ≥ 3 , temos a seguinte desigualdade

x 2 + y 2 ≥ 25 - 9 = 16

Portanto, a projeção da superfície no plano x y é a região delimitada pelo círculo

x 2 + y 2 = 16

Que pode ser descrito como

R = r , θ , z 0 ≤ θ ≤ 2 π ,     0 ≤ r ≤ 4 ,     z = 0 }

Nós escolhermos p = k como vetor normal para esta região no plano x y , agora, no caso da esfera, obtemos que

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 → ∇ f = ∇ x 2 + y 2 + z 2

Desenvolvendo os termos

∇ f = 2 x i + y j + z k

Com isso, nós temos que

d σ = ∇ f ∇ f ∙ p d A = 2 x i + y j + z k 2 z d A

Desenvolvendo os termos, temos que

d σ = 2 x 2 + y 2 + z 2 2 z d A = 2 25 2 z d A = 5 z d A

Onde z = z r , θ = 25 - r 2 . A massa do fio é dado que

M = ∬ δ   d σ = ∫ 0 2 π ∫ 0 4 z r , θ 5 z r , θ   r   d r d θ

Desenvolvendo os termos, nós temos que

M = ∫ 0 2 π ∫ 0 4 5 r   d r d θ = 5 2 π r 2 2 0 4 = 10 π 8 = 80 π

Passo 2

O momento de inércia I z é dado por

I z = ∬ x 2 + y 2 δ   d σ = ∬ r 2   z 5 z r   d r d θ

Desenvolvendo os termos

I z = 5 ∫ 0 2 π ∫ 0 4 r 3   d r = 5 2 π r 4 4 0 4 = 5 2 π 128 = 640 π

Por outro lado, podemos notar que a superfície é simétrica em relação ao eixo z, e que a densidade do fio, δ , não depende das variáveis ​​x e y. Portanto, x - = y - = 0 . Para encontrar a coordenada z do centro de massa, determinamos o momento em relação ao plano x y . é dado por

M x y = ∬ z δ   d σ = ∫ 0 2 π ∫ 0 4 z r , θ 5 z r , θ   r   d r d θ

Essa integral será simplificada para a seguinte forma

M x y = 5 2 π - 1 2 ∫ 0 4 25 - r 2 1 2   d 25 - r 2

Que tem como resultado

M x y = - 5 π 2 3 25 - r 2 3 2 0 4 = - 10 π 3 27 - 125 = 980 3 π

Assim, a coordenada z do centro de massa é

z - = M x y M = 980 π 3 80 π = 49 12

O centro de massa é localizado no ponto 0,0 , 49 12 .

Resposta

I z = 640 π

O   c e n t r o   d e   m a s s a   é   l o c a l i z a d o   n o   p o n t o   0,0 , 49 12 .

Exercícios de Livros Relacionados

O centro de massa de um fio γ : a , b → R 3 é o ponto x c , y c , z c dado por: x c = ∫ γ x d m ∫ γ d m , y c = ∫ γ y d m ∫ γ d m ,z c = ∫ γ z d m ∫ γ d m Onde d m = δ x , y , zd s é o elemento de mas
Centro de massa e momentos de inércia para fios com densidade variável Encontre o centro de massa e os momentos de inércia em relação aos eixos coordenados de um fio fino que se encontra ao longo da c
Fio de densidade constante Um fio de densidade constante δ = 1 encontra-se ao longo da curva r ( t ) = ( t c o s ⁡ t ) i + ( t s e n ⁡ t ) j + ( 2 2 / 3 ) t 3 / 2 k ,0 ≤ t ≤ 1 . Encontre z ‾ e I z
Duas molas de densidade constante Uma mola de densidade constante δ encontra-se ao longo da hélice r ( t ) = ( c o s ⁡ t ) i + ( s e n ⁡ t ) j + t k ,0 ≤ t ≤ 2 π . a. Encontre I z - b. Suponha que voc
Inércia de uma haste fina Uma haste fina com densidade constante encontra-se ao longo do segmento de reta r(t) =tj + (2 – 2t)k, 0 ≤ t ≤ 1, no plano yz. Encontre os momentos deinércia da haste em relaç