Intervalo de definição. Examinando um problema de valor
inicial dy/dx = f (x, y) com y(x0) = y0, nem sempre é possível
determinar o domínio da solução y(x) ou o intervalo sobre o
qual a função y(x) satisfaz a equação diferencial
(a) Resolva a equação dy/dx = xy3 .
(b) Dê explicitamente as soluções para o problema de valor
inicial com y(0) = 1; y(0) = 1/2; y(0) = 2.
(c) Determine os domínios das soluções no item (b).
(d) Conforme encontrado no item (c), os domínios das solu-
ções dependem das condições iniciais. Para o problema
de valor inicial dy/dx = xy3 com y(0) = a, a > 0, mostre
que, à medida que a se aproxima de zero pela direita,
o domínio se aproxima da linha inteira (− ∞, ∞), e à
medida que a se aproxima de + ∞, o domínio encolhe
para um único ponto.
(e) Esboce as soluções para o problema de valor inicial dy/
dx = xy3 com y(0) = a para a = ±1/2, ±1 e ±2.
Passo 1
Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊
- A equação diferencial pode ser resolvida usando a separação de variáveis. Na verdade:
- Quando y(0)=1 a constante c dá:
- O domínio das soluções é dado por:
- A solução da equação diferencial com a condição inicial y(0)=a é . O domínio é dado por
- A figura a seguir mostra as soluções para o problema de valor inicial com
Passo 2
Portanto, a solução da equação diferencial com a condição inicial y(0)=1 é:
Quando y(0)=1/2 a constante c dá:
Portanto, a solução da equação diferencial com a condição inicial y(0)=1/2 é:
Quando y(0)=2 a constante c dá:
Portanto, a solução da equação diferencial com a condição inicial y(0)=2 é:
Passo 3
os domínios então são,
o domínio de y é então:
Passo 4

Resposta
Resposta nos passos.