Intervalo de definição. Examinando um problema de valor

inicial dy/dx = f (x, y) com y(x0) = y0, nem sempre é possível

determinar o domínio da solução y(x) ou o intervalo sobre o

qual a função y(x) satisfaz a equação diferencial

(a) Resolva a equação dy/dx = xy3 .

(b) Dê explicitamente as soluções para o problema de valor

inicial com y(0) = 1; y(0) = 1/2; y(0) = 2.

(c) Determine os domínios das soluções no item (b).

(d) Conforme encontrado no item (c), os domínios das solu-

ções dependem das condições iniciais. Para o problema

de valor inicial dy/dx = xy3 com y(0) = a, a > 0, mostre

que, à medida que a se aproxima de zero pela direita,

o domínio se aproxima da linha inteira (− ∞, ∞), e à

medida que a se aproxima de + ∞, o domínio encolhe

para um único ponto.

(e) Esboce as soluções para o problema de valor inicial dy/

dx = xy3 com y(0) = a para a = ±1/2, ±1 e ±2.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

  1. A equação diferencial pode ser resolvida usando a separação de variáveis. Na verdade:
  2. d y d x = x y ³

    d y y ³ = x d x

    ∫ d y y ³   =   ∫   x   d x

    - 1 2 y ² + c   =   x ² 2

    x ²   +   y ⁻ ²   =   c

    Passo 2

  3. Quando y(0)=1 a constante c dá:
  4. 0 + 1 ⁻ ²   =   c   → c   =   1

    Portanto, a solução da equação diferencial com a condição inicial y(0)=1 é:

    x ²   +   1 y ²   =   1

    1 y ² = 1 - x ²

    y 1 = 1 1 - x ²

    Quando y(0)=1/2 a constante c dá:

    0 + ( 1 / 2 ) ⁻ ²   =   c   →   c   =   4

    Portanto, a solução da equação diferencial com a condição inicial y(0)=1/2 é:

    x ²   +   1 y ²   =   4

    1 y ² =   4   - x ²

    y ²   =   1 4 - x ²

    Quando y(0)=2 a constante c dá:

    0 + 2 ⁻ ²   =   c   →   c   =   1 4

    Portanto, a solução da equação diferencial com a condição inicial y(0)=2 é:

    x ²   +   1 y ²   =   1 4

    1 y ² =   1 4 - x ²

    y ³   = 1 1 4 - x ²  

    Passo 3

  5. O domínio das soluções é dado por:
  6. 1 - x ²   >   0

    x ² - 1 < 0

    ( x + 1 ) ( x - 1 ) < 0

    - 1 < x < 1

    4 - x ² > 0

    x ² - 4 < 0

    ( x + 2 ) ( x - 2 ) < 0

    - 2 < x < 2

    1 4 - x ² < 0

    ( x + 1 4 ) ( x - 1 4 ) < 0

    - 1 2 < x < 1 2

    os domínios então são,

    D 1   =   {   x   ϵ   R :   -   1   < x   < 1   }  

    D 2   =   { x   ϵ   R :   - 2   <   x   < 2 }

    D 3   =   { x   ϵ   R :   -   1 / 2   <   x   <   1 / 2   }

  7. A solução da equação diferencial com a condição inicial y(0)=a é y   =   1 a ² - x ² . O domínio é dado por
  8. 1 a ² - x ²   >   0

    x ²   -   1 a ²   <   0

    ( x + 1 a ) ( x - 1 a )   <   0

    - 1 a   <   x   <   1 a

    o domínio de y é então: y   =   { x   ϵ     R :   - 1 / a   < x   <   1 / a }   =   { x   ϵ   R :   | x |   <   1 / a }

    Passo 4

  9. A figura a seguir mostra as soluções para o problema de valor inicial d y / d x   =   x y ³ com y ( 0 )   =   ± 1 / 2 ( f ( x ) ) ,   y ( 0 )   =   ± ( g ( x ) ) ,   y ( 0 )   =   ± 2 ( h ( x ) )

Resposta

Resposta nos passos.