f(x) = 3 * x^2

Passo 1

Fala, pessoal!!!

Ele tá pedindo pra gente inicialmente mostrar que

f (2 + h) = 3 h^2 + 12 h + 12

Essa parte é bem simples. Vamos substituir x na nossa função por 2 + h :

f (2 + h) = 3 (2 + h)^2

f (2 + h) = 3 (4 + 4 h + h^2)

f (2 + h) = 12 + 12 h + 3 h^2

Reorganizando...

f (2 + h) = 3 h^2 + 12 h + 12

Que é justamente o que queremos demonstrar!

Passo 2

Agora ele quer que a gente mostre que:

(f (2 + h) - f (2))/(h) = 3 h + 12

Bem, já calculamos f (2 + h) . Vamos calcular f (2) substituindo x por 2 na nossa função.

f (2) = 3 (2)^2 = 3 * 4 = 12

E substituindo os valores na nossa relação, temos:

(f (2 + h) - f (2))/(h) = (3 h^2 + 12 h + 12 - 12)/(h) = (3 h^2 + 12 h)/(h) = 3 h + 12

Passo 3

Pra finalizar, vamos calcular f^' (2) tomando o limite quando h -> 0

Ou seja, vamos usar a definição de derivada.

f^' (a) = underset(h -> 0)(lim) (f (a + h) - f (a))/(h)

E no nosso caso, a = 2 .

Temos então,

f^' (2) = underset(h -> 0)(lim) (f (2 + h) - f (2))/(h) = underset(h -> 0)(lim) 3 h + 12 = (3 * 0) + 12 = 12

Tranquilo! :)

Resposta

f^' (2) = 12