f(x) = 2*x^2 - 3*x - 5

Passo 1

Fala, pessoal!!!

Ele tá pedindo pra gente inicialmente mostrar que a inclinação da reta secante por (2 , f (2)) e (2 + h , f (2 + h)) é 2 h + 5 .

Bem, já sabemos que a razão incremental

(f (a + h) - f (a))/(h)

É a inclinação da reta secante por P = (a , f (a)) e Q = (a + h , f (a + h)) no gráfico de f (x) .

No nosso caso, a = 2 .

Vamos substituir o nosso a :

(f (2 + h) - f (2))/(h)

Calculando f (2 + h) :

f (2 + h) = 2 (2 + h)^2 - 3 (2 + h) - 5 = 2 (4 + 4 h + h^2) - 6 - 3 h - 5

= 8 + 8 h + 2 h^2 - 11 - 3 h = 2 h^2 + 5 h - 3

Calculando f (2) :

f (2) = 2 (2^2) - 3 * 2 - 5 = 2 * 4 - 6 - 5 = 8 - 11 = - 3

Temos

(f (2 + h) - f (2))/(h) = (2 h^2 + 5 h - 3 - (- 3))/(h) = (2 h^2 + 5 h)/(h) = 2 h + 5

Assim, podemos afirmar que a razão incremental

2 h + 5

É a inclinação da reta secante por (2 , f (2)) e (2 + h , f (2 + h)) .

Passo 2

  1. Agora temos que calcular a inclinação da reta secante por (2 , f (2)) e (3 , f (3)) , usando o resultado anterior.
  2. Temos

    (a , f (a)) = (2 , f (2)) -> a = 2

    (a + h , f (a + h)) = (3 , f (3)) -> a + h = 3 -> 2 + h = 3 -> h = 1

    Usando

    (f (2 + h) - f (2))/(h) = 2 h + 5

    Vamos apenas substituir o valor de h :

    (f (3) - f (2))/(1) = (2 * 1) + 5 = 7

    Passo 3

  3. Por fim, vamos calcular a reta tangente em x = 2 (tomando um limite).

Por definição, já sabemos que a equação da reta tangente é:

y - f (a) = f^' (a) (x - a)

E que

f^' (a) = underset(x -> a)(lim) (f (a + h) - f (a))/(h)

Vamos fazer as continhas!

f^' (2) = underset(x -> 2)(lim) (f (2 + h) - f (2))/(h) = underset(h -> 0)(lim) 2 h + 5 = 2 * 0 + 5 = 5

Então

y - f (2) = f^' (2) (x - a) -> y - (- 3) = 5 (x - 2) -> y + 3 = 5 x - 10

y = 5 x - 10 - 3

y = 5 x - 13

Que é a equação da nossa reta tangente!

Tranquilo! :)

Resposta

  1. 7
  2. y = 5 x - 13