f(x) = x^(-1)

Passo 1

Fala, pessoal!!!

Ele tá pedindo pra gente inicialmente calcular f^' (x) usando a definição de limite.

Lembrando:

f^' (x) = underset(h -> 0)(lim) (f (x + h) - f (x))/(h)

Passo 2

Para o nosso caso, temos:

f^' (x) = underset(h -> 0)(lim) ((x + h)^(- 1) - x^(- 1))/(h) = underset(h -> 0)(lim) ((1)/(x + h) - (1)/(x))/(h) = underset(h -> 0)(lim) ((x - x - h)/(( x + h ) x))/(h) = underset(h -> 0)(lim) ((- h)/(x^2 + h x))/(h)

= underset(h -> 0)(lim) (- h)/(h (x^2 + h x)) = underset(h -> 0)(lim) (- 1)/(x^2 + h x) = - (1)/(x^2 + 0) = - (1)/(x^2)

Tranquilo! :)

Resposta

f^' (x) = - (1)/(x^2)