f(x) = x / (x - 1)

Passo 1

Fala, pessoal!!!

Ele tá pedindo pra gente inicialmente calcular f^' (x) usando a definição de limite.

Lembrando:

f^' (x) = underset(h -> 0)(lim) (f (x + h) - f (x))/(h)

Passo 2

Para o nosso caso, temos:

f^' (x) = underset(h -> 0)(lim) ((x + h)/(x + h - 1) - (x)/(x - 1))/(h) = underset(h -> 0)(lim) (((x + h) (x - 1) - x (x + h - 1))/((x + h - 1) (x - 1)))/(h)

= underset(h -> 0)(lim) (x^2 - x + h x - h - x^2 - h x + x)/(h (x^2 + h x - x - x - h + 1)) = underset(h -> 0)(lim) (- h)/(h (x^2 + h x - 2 x - h + 1))

= underset(h -> 0)(lim) (- 1)/((x^2 + h x - 2 x - h + 1)) = - (1)/(x^2 + 0 - 2 x - 0 + 1) = - (1)/(x^2 - 2 x + 1) = - (1)/((x - 1)^2)

Tranquilo! :)

Resposta

f^' (x) = - (1)/((x - 1)^2)