f(x) = 3 * raiz(x) + 8x, a = 9.

Passo 1

Fala, pessoal!!!

Ele tá pedindo pra gente inicialmente calcular f^' (a)

Lembrando as regras da potência e da linearidade:

f^' (x) = (d)/(d x) x^n = n x^(n - 1) ; (f + g)^' = f^' + g^' ; (c f)^' = c f^' , c = c o n s t a n t e .

No nosso caso

f^' (x) = (3 x^((1)/(2)) + 8 x)^' = (3 x^((1)/(2)))^' + (8 x)^' = 3 (x^((1)/(2)))^' + 8 (x)^' = (3)/(2) x^((1)/(2) - 1) + 8 * 1 * x^(1 - 1)

f^' (x) = (3)/(2) x^(- (1)/(2)) + 8 x^0 = (3)/(2 x^((1)/(2))) + 8 * 1 = (3)/(2 sqrt(x)) + 8

Em a = 9 :

f^' (9) = (3)/(2 sqrt(9)) + 8 = (3)/(2 * 3) + 8 = (1)/(2) + 8 = (1 + 16)/(2) = (17)/(2)

Passo 2

Agora ele quer que a gente ache uma equação da reta tangente em x = a .

Podemos escrever uma equação da reta tangente da seguinte forma:

y - f (a) = f^' (a) (x - a)

f^' (a) = (17)/(2)

Calculando f (a) :

f (a) = 3 sqrt(9) + 8 * 9 = 3 * 3 + 8 * 9 = 9 + 72 = 81

Temos então:

y - 81 = (17)/(2) (x - 9)

y = (17 x)/(2) - (153)/(2) + 81

y = (17 x)/(2) + (- 153 + 162)/(2)

y = (17 x)/(2) + (9)/(2)

Tranquilo! :)

Resposta

Para a = 9 :

f^' (a) = (17)/(2)

Equação de uma reta tangente:

y = (17 x)/(2) + (9)/(2)