f(x) = raiz(x, 3), a = 8.

Passo 1

Fala, pessoal!!!

Ele tá pedindo pra gente inicialmente calcular f^' (a)

Lembrando a regra da potência:

f^' (x) = (d)/(d x) x^n = n x^(n - 1)

No nosso caso

f^' (x) = (x^((1)/(3)))^' = (1)/(3) x^((1)/(3) - 1) = (1)/(3) x^(- (2)/(3)) = (1)/(3 x^((2)/(3))) = (1)/(3 root(3)(x^2))

Em a = 8 :

f^' (8) = (1)/(3 root(3)(8^2)) = (1)/(3 * 4) = (1)/(12)

Passo 2

Agora ele quer que a gente ache uma equação da reta tangente em x = a .

Podemos escrever uma equação da reta tangente da seguinte forma:

y - f (a) = f^' (a) (x - a)

f^' (a) = (1)/(1 2)

Calculando f (a) :

f (a) = root(3)(8) = 2

Temos então:

y - 2 = (1)/(1 2) (x - 8)

y = (x)/(1 2) - (8)/(1 2) + 2

y = (x)/(1 2) - (2)/(3) + 2

y = (x)/(1 2) + (- 2 + 6)/(3)

y = (x)/(12) + (4)/(3)

Tranquilo! :)

Resposta

Para a = 8 :

f^' (a) = (1)/(1 2)

Equação de uma reta tangente:

y = (x)/(1 2) + (4)/(3)