O lado de um quadrado tem comprimento L. Provar que entre todos os quadrados inscritos no quadrado dado, o de área mínima tem o lado de comprimento .
Passo 1
Primeiramente, vamos desenhar a situação dada e identificar os vínculos matemáticos que conseguimos:

A área do quadrado inscrito (amarelo), será:
Sendo ‘‘a’’ a aresta do quadrado.
Passo 2
Como esse quadrado está inscrito em um quadrado maior de lado L, podemos obter uma relação entre a sua aresta e o lado do quadrado exterior. Como os ângulos internos em um quadrado são iguais a 90°, nós temos 4 triângulos retângulos de lados ‘‘a’’, ‘‘x’’ e ‘‘L - x’’, assim, por Pitágoras:
Assim, podemos obter a área do quadrado inscrito em função dos valores do quadrado exterior, logo:
Passo 3
Feito isso, como queremos minimizar a área do quadrado inscrito, basta derivarmos a área encontrada em função de x (uma vez que L é constante) e igualar isso a zero. Assim encontraremos os pontos críticos da função. Logo:
Derivando,
Passo 4
Substituindo x na aresta ‘‘a’’ encontrada pelo teorema de Pitágoras, temos:
Como ‘‘a’’ e ‘‘L’’ são positivos,
Passo 5
Além disso, para a resposta ficar mais completa, precisamos garantir que o ponto crítico achado é um ponto de mínima. Para isso usaremos o conceito da segunda derivada.
Relembrando,
Primeira derivada = 0 Pontos críticos candidatos a serem pontos de máximo ou de mínimo.
Segunda derivada > 0 Função convexa (concavidade pra cima) Ponto de mínimo.
Segunda derivada
Segunda derivada = 0 Ponto de inflexão Mudança de concavidade, não é nem máximo, nem mínimo.
Assim, fazendo a segunda derivada da área, temos:
Logo, o ponto crítico achado é realmente um ponto de mínimo.