O lado de um quadrado tem comprimento L. Provar que entre todos os quadrados inscritos no quadrado dado, o de área mínima tem o lado de comprimento L / raiz(2) / 2 .

Passo 1

Primeiramente, vamos desenhar a situação dada e identificar os vínculos matemáticos que conseguimos:

A área do quadrado inscrito (amarelo), será:

A = a 2

Sendo ‘‘a’’ a aresta do quadrado.

Passo 2

Como esse quadrado está inscrito em um quadrado maior de lado L, podemos obter uma relação entre a sua aresta e o lado do quadrado exterior. Como os ângulos internos em um quadrado são iguais a 90°, nós temos 4 triângulos retângulos de lados ‘‘a’’, ‘‘x’’ e ‘‘L - x’’, assim, por Pitágoras:

a 2 = x 2 + L - x 2 = x 2 + L 2 - 2 x L + x 2 = 2 x 2 - 2 x L + L 2 →  

a 2 = 2 x 2 - 2 x L + L 2

Assim, podemos obter a área do quadrado inscrito em função dos valores do quadrado exterior, logo:

A = a 2 = 2 x 2 - 2 x L + L 2  

Passo 3

Feito isso, como queremos minimizar a área do quadrado inscrito, basta derivarmos a área encontrada em função de x (uma vez que L é constante) e igualar isso a zero. Assim encontraremos os pontos críticos da função. Logo:

A = 2 x 2 - 2 x L + L 2

Derivando,

A ' = 4 x - 2 L = 0 → 4 x = 2 L → 2 x = L → x = L 2

Passo 4

Substituindo x na aresta ‘‘a’’ encontrada pelo teorema de Pitágoras, temos:

a 2 = 2 x 2 - 2 x L + L 2 → a 2 = 2 . L 2 4 - 2 . L 2 .   L + L 2 = L 2 2 - L 2 + L 2 = L 2 2 →  

a 2 = L 2 2

Como ‘‘a’’ e ‘‘L’’ são positivos,

a 2 = L 2 2 → a = L 2 2

Passo 5

Além disso, para a resposta ficar mais completa, precisamos garantir que o ponto crítico achado é um ponto de mínima. Para isso usaremos o conceito da segunda derivada.

Relembrando,

Primeira derivada = 0 Pontos críticos candidatos a serem pontos de máximo ou de mínimo.

Segunda derivada > 0 Função convexa (concavidade pra cima) Ponto de mínimo.

Segunda derivada

Segunda derivada = 0 Ponto de inflexão Mudança de concavidade, não é nem máximo, nem mínimo.

Assim, fazendo a segunda derivada da área, temos:

A =   2 x 2 - 2 x L + L 2 → A ' = 4 x - 2 L → A ' ' =   4 >   0 →   M í n i m o .  

Logo, o ponto crítico achado é realmente um ponto de mínimo.

Resposta

a = L 2 2