underset(x -> 1)(lim) (x^3 - 1)/(x ² - 1)

Passo 1

Fala, galerinhaaa!

Vamos começar achando o valor do limite de x , beleza?

Mão na massa!

underset(x -> 1)(lim) (x^3 - 1)/(x ² - 1)

Aqui dá pra ver que se substituirmos x por 1 não vai dar certo, né? Afinal, daria uma indeterminação.

Passo 2

Bem, vamos lá! Temos que manipular essa função aí.

Vem comigo...

Vamos abrir esses polinômios:

(x^2 - 1) = (x^2 - 1^2) = (x - 1) (x + 1)

(x^3 - 1) = (x^3 - 1^3) = ( x - 1 ) ( x^2 + x + 1 )

Agora basta simplificarmos a nossa função antes de calcular o limite!

f (x) = (x^3 - 1)/(x^2 - 1) = (( x - 1 ) ( x^2 + x + 1 ))/(( x - 1 ) ( x + 1 )) = (( x^2 + x + 1 ))/(x + 1)

Então, podemos dizer que:

underset(x -> 1)(lim) (x^3 - 1)/(x^2 - 1) = underset(x -> 1)(lim) (x^2 + x + 1)/(x + 1)

E agora sim podemos fazer a substituição!

underset(x -> 1)(lim) (x^2 + x + 1)/(x + 1) = (1^2 + 1 + 1)/(1 + 1) = (3)/(2)

Ou seja, quando nosso x vai pra 1 , o limite da nossa função tende à (3)/(2) .

Agora acabou! ;)

Resposta

underset(x -> 1)(lim) (x^3 - 1)/(x^2 - 1) = (3)/(2)