f (x) = (x + 1)/(2) , L = 3 , a = 5 , epsilon = 0 , 1 , underset(x -> 5)(lim) (x + 1)/(2) = 3

Passo 1

Fala, galerinhaaa!

Nessa ele pede pra gente determinar um delta > 0 tal que |f (x) - L| < epsilon sempre que 0 < |x - a| < delta , dado um valor de epsilon .

QUE?!

Vamos lá... sei que você consegue.

Aqui ele quer usar o limite por definição formal.

Vamos substituir o que já nos foi dado:

|f (x) - L| < epsilon -> |(x + 1)/(2) - 3| < 0 , 1 ( I )

0 < |x - a| < delta -> 0 < |x - 5| < delta ( I I )

Passo 2

Em ( I ) , temos:

|(x + 1)/(2) - 3| = |(x + 1 - 6)/(2)| = |(x - 5)/(2)| = |((1)/(2)) (x - 5)| = (1)/(2) |x - 5|

E em ( I I ) temos algo, digamos... familiar. Olha aqui:

0 < |x - 5| < delta

A gente tá procurando um valor positivo para delta onde

(1)/(2) |x - 5| < 0 , 1

Reescrevendo...

|x - 5| < 0,1 * 2

Seja válido sempre que 0 < |x - 5| < delta

Passo 3

Com essas informações, podemos definir, para nosso caso:

delta = 2 * epsilon = 2 * 0,1 = 0,2

Assim, garantimos que |(x + 1)/(2) - 3| < 0 , 1 sempre que 0 < |x - 5| < delta .

Uma coisa a ser levada em consideração é que podemos adotar outros valores para delta . Esse foi apenas o mais fácil de enxergar.

Resposta

delta = 2 * epsilon = 0 , 2