f (x) = x ² , L = 4 , a = 2 , epsilon = 0 , 1 , underset(x -> 2)(lim) x ² = 2

Passo 1

Fala, galerinhaaa!

Nessa ele pede pra gente determinar um delta > 0 tal que |f (x) - L| < epsilon sempre que 0 < |x - a| < delta , dado um valor de epsilon .

QUE?!

Vamos lá... sei que você consegue.

Aqui ele quer usar o limite por definição formal.

Vamos substituir o que já nos foi dado:

|f (x) - L| < epsilon -> |x ² - 4| < 0 , 1 ( I )

0 < |x - a| < delta -> 0 < |x - 2| < delta ( I I )

Passo 2

Em ( I ) , temos:

|x^2 - 4| = |( x + 2 ) ( x - 2 )| = |x + 2| |x - 2|

E em ( I I ) temos algo, digamos... familiar. Olha aqui:

0 < |x - 2| < delta

Bem, para prosseguir, precisamos assumir que | x + 4 | seja um valor constante.

Nesse caso, vamos supor:

0 < delta <= 1

Assim,

0 < |x - 2| < delta

|x - 2| < 1

- 1 < x - 2 < 1

1 < x < 3

3 < x + 2 < 5

Como temos

|x - 2| < delta

|x + 2| < 5

E escolhendo

delta = (epsilon)/(5)

Temos:

|x^2 - 4| < |x + 2| |x - 2| < delta * 5

|x^2 - 4| < (epsilon * 5)/(5)

Agora podemos concluir que:

|x^2 - 4| < epsilon

Ou seja:

|x^2 - 4| < 0,1

Passo 3

Com essas informações, podemos definir, para nosso caso:

delta = (epsilon)/(5) = (0,1)/(5) = 0 , 0 2

Assim, garantimos que |x^2 - 4| < 0 , 1 sempre que 0 < |x - 2| < delta .

Uma coisa a ser levada em consideração é que podemos adotar outros valores para delta . Esse foi apenas o mais fácil de enxergar.

Resposta

delta = (epsilon)/(5) = 0 , 0 2