underset(h -> 0)(lim) ((3 + h)^2 - 9)/(h)

Passo 1

Fala, galeeera!

Bora exercitar o uso das propriedades dos limites?

Vem comigo!

Essa questão é bem “mecânica”, vamos resolvendo aos poucos e ao lado vamos indicar a propriedade do livro que está sendo usada, beleza?!

Então bora

Passo 2

Aqui não podemos aplicar a Propriedade 4 , pois teríamos uma indeterminação.

Olha só:

underset(h -> 0)(lim) ( h ) = 0

Massss nem tudo está perdido!

Repare que, se abrirmos o polinômio e depois fatorarmos:

((3 + h)^2 - 9)/(h) = (3^2 + 6 h + h^2 - 9)/(h) = (h^2 + 6 h + 9 - 9)/(h) = (h^2 + 6 h)/(h) = (h (h + 6))/(h) = h + 6

Que é uma expressão válida para todo h com exceção do h = 0 .

Aplicando a Propriedade 10 :

underset(h -> 0)(lim) ((3 + h)^2 - 9)/(h) = underset(h -> 0)(lim) ( h + 6 )

Agora sim!

Aplicando a Propriedade 1:

= underset(h -> 0)(lim) ( h ) + underset(h -> 0)(lim) ( 6 )

Aplicando a Propriedade 8 :

= underset(h -> 0)(lim) ( h ) + 6

Aplicando a Propriedade 9 :

= 0 + 6 = 6

Tranquilo, né?!

Resposta

underset(h -> 0)(lim) ((3 + h)^2 - 9)/(h) = 6