underset(x -> 0)(lim) (sqrt(x + 2) - sqrt(2))/(x)

Passo 1

Fala, galeeera!

Bora exercitar o uso das propriedades dos limites?

Vem comigo!

Essa questão é bem “mecânica”, vamos resolvendo aos poucos e ao lado vamos indicar a propriedade do livro que está sendo usada, beleza?!

Então bora

Passo 2

Aqui não podemos aplicar a Propriedade 4 , pois teríamos uma indeterminação.

Olha só:

underset(x -> 0)(lim) ( x ) = 0

Massss nem tudo está perdido!

Repare que, se multiplicarmos em cima e em baixo por (sqrt(x + 2) + sqrt(2)) , nada muda, e simplificando:

(sqrt(x + 2) - sqrt(2))/(x) = ((sqrt(x + 2) - sqrt(2)) (sqrt(x + 2) + sqrt(2)))/(x (sqrt(x + 2) + sqrt(2))) = ((sqrt(x + 2)) (sqrt(x + 2)) + (sqrt(x + 2)) (sqrt(2)) - (sqrt(2)) (sqrt(x + 2)) - (sqrt(2)) (sqrt(2)))/(x (sqrt(x + 2) + sqrt(2))) = ((x + 2) - 2)/(x ( sqrt(x + 2) + sqrt(2) )) = (x)/(x ( sqrt(x + 2) + sqrt(2)) = (1)/(sqrt(x + 2) + sqrt(2))

Que é uma expressão válida para todo x com exceção do x = 0 .

Aplicando a Propriedade 10 :

underset(x -> 0)(lim) (sqrt(x + 2) - sqrt(2))/(x) = underset(x -> 0)(lim) (1)/(sqrt(x + 2) + sqrt(2))

Agora sim!

Aplicando a Propriedade 4 :

= (underset(x -> 0)(lim) ( 1 ))/(underset(x -> 0)(lim) (sqrt(x + 2) + sqrt(2)))

Aplicando a Propriedade 1:

= (underset(x -> 0)(lim) ( 1 ))/(underset(x -> 0)(lim) (sqrt(x + 2)) + underset(x -> 0)(lim) (sqrt(2)))

Aplicando a Propriedade 6 :

= (underset(x -> 0)(lim) ( 1 ))/(sqrt(underset(x -> 0)(lim) (x + 2)) + sqrt(underset(x -> 0)(lim) (2)))

Aplicando, novamente, a Propriedade 1 :

= (underset(x -> 0)(lim) ( 1 ))/(sqrt(underset(x -> 0)(lim) ( x ) + underset(x -> 0)(lim) ( 2 )) + sqrt(underset(x -> 0)(lim) (2)))

Aplicando a Propriedade 8 :

= (1)/(sqrt(underset(x -> 0)(lim) ( x ) + 2) + sqrt(2))

Aplicando a Propriedade 9 :

= (1)/(sqrt(0 + 2) + sqrt(2)) = (1)/(sqrt(2) + sqrt(2)) = (1)/(2 sqrt(2)) = (1 sqrt(2))/(2 sqrt(2) * sqrt(2)) = (sqrt(2))/(2 * 2) = (sqrt(2))/(4)

Tranquilo, né?!

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (sqrt(x + 2) - sqrt(2))/(x) = (1)/(2 sqrt(2)) = (sqrt(2))/(4)