underset(h -> 0)(lim) (2 - sqrt(4 - h))/(h)

Passo 1

Fala, galeeera!

Bora exercitar o uso das propriedades dos limites?

Vem comigo!

Essa questão é bem “mecânica”, vamos resolvendo aos poucos e ao lado vamos indicar a propriedade do livro que está sendo usada, beleza?!

Então bora

Passo 2

Aqui não podemos aplicar a Propriedade 4 , pois teríamos uma indeterminação.

Olha só:

underset(h -> 0)(lim) ( h ) = 0

Massss nem tudo está perdido!

Repare que, se multiplicarmos em cima e em baixo por (2 + sqrt(4 - h)) , nada muda, e simplificando:

(2 - sqrt(4 - h))/(h) = ((2 - sqrt(4 - h)) (2 + sqrt(4 - h)))/(h (2 + sqrt(4 - h))) = (4 + 2 sqrt(4 - h) - 2 sqrt(4 - h) - ( 4 - h ))/(h (2 + sqrt(4 - h))) = (4 - 4 + h)/(h (2 + sqrt(4 - h))) = (h)/(h (2 + sqrt(4 - h))) = (1)/(2 + sqrt(4 - h))

Que é uma expressão válida para todo h com exceção do h = 0 .

Aplicando a Propriedade 10 :

underset(h -> 0)(lim) (2 - sqrt(4 - h))/(h) = underset(h -> 0)(lim) (1)/(2 + sqrt(4 - h))

Agora sim!

Aplicando a Propriedade 4 :

= (underset(h -> 0)(lim) (1))/(underset(h -> 0)(lim) (2 + sqrt(4 - h)))

Aplicando a Propriedade 1:

= (underset(h -> 0)(lim) (1))/(underset(h -> 0)(lim) (2) + underset(h -> . 0)(lim) (sqrt(4 - h)))

Aplicando a Propriedade 6 :

= (underset(h -> 0)(lim) (1))/(underset(h -> 0)(lim) (2) + sqrt(underset(h -> . 0)(lim) (4 - h)))

Aplicando, novamente, a Propriedade 1 :

= (underset(h -> 0)(lim) (1))/(underset(h -> 0)(lim) (2) + sqrt(underset(h -> . 0)(lim) (4) + underset(h -> 0)(lim) (- h)))

Aplicando a Propriedade 2 :

= (underset(h -> 0)(lim) (1))/(underset(h -> 0)(lim) (2) + sqrt(underset(h -> . 0)(lim) (4) - underset(h -> 0)(lim) (h)))

Aplicando a Propriedade 8 :

= (1)/(2 + sqrt(4 - underset(h -> 0)(lim) (h)))

Aplicando a Propriedade 9 :

= (1)/(2 + sqrt(4 - 0)) = (1)/(2 + sqrt(4)) = (1)/(2 + 2) = (1)/(4)

Tranquilo, né?!

Resposta

underset(h -> 0)(lim) (2 - sqrt(4 - h))/(h) = (1)/(4)