underset(x -> 2)(lim) f (x)

f (x) = 4 x - 1

Passo 1

Fala, galerinhaaa!

Temos que mostrar que |f (x) - 7| < 4 delta se |x - 2| < delta .

Aqui ele quer usar o limite por definição formal.

Vamos substituir o que já nos foi dado:

|f (x) - L| < epsilon -> |4 x - 1 - 7| < ϵ

|4 x - 8| < ϵ

4 |x - 2| < ϵ (I)

0 < |x - c| < delta -> 0 < |x - 2| < delta ( I I )

Passo 2

Em ( I ) , temos:

|x - 2| < (ϵ)/(4)

E em ( I I ) temos algo, digamos... familiar. Olha aqui:

0 < |x - 2| < delta

Podemos fazer uma comparação bem simples entre (I) e (I I) , e chegar na seguinte conclusão:

(ϵ)/(4) = delta

Ou seja,

ϵ = 4 delta

Passo 3

Vamos reescrever o limite, por definição, para o nosso caso:

|f (x) - 7| < ϵ s e 0 < |x - 2| < delta

Substituindo ϵ = 4 delta , temos:

|f (x) - 7| < 4 delta s e 0 < |x - 2| < delta

Que é justamente o que ele nos pede para provar!

Tranquilo, né?

Resposta

Resposta dada nos passos anteriores.