underset(x -> 1)(lim) sqrt(x + 3)

Passo 1

Fala, galerinhaaa!

Temos que mostrar que

|sqrt(x + 3) - 2| < (1)/(2) |x - 1| s e |x - 1| < 4

E ele nos dá a seguinte sugestão:

Multiplicar a desigualdade por

|sqrt(x + 3) + 2|

E observar que

|sqrt(x + 3) + 2| > 2

Mão na massa!

Passo 2

Nós temos

|sqrt(x + 3) - 2| < (1)/(2) |x - 1|

Multiplicando ambos os lados por |sqrt(x + 3) + 2| :

|sqrt(x + 3) - 2| |sqrt(x + 3) + 2| < (1)/(2) |x - 1| |sqrt(x + 3) + 2|

|(sqrt(x + 3))^2 + 2 sqrt(x + 3) - 2 sqrt(x + 3) - 4| < (1)/(2) |x - 1| |sqrt(x + 3) + 2|

|x - 1| < (1)/(2) |x - 1| |sqrt(x + 3) + 2|

1 < (1)/(2) |sqrt(x + 3) + 2|

2 < |sqrt(x + 3) + 2|

|sqrt(x + 3) + 2| > 2

Beleza! Vamos guardar essa sugestão na cabecinha e seguir com a nossa análise.

Passo 3

Vamos pegar agora o |x - 1| < 4 e dividir ambos os lados por 2 :

(1)/(2) |x - 1| < (4)/(2)

(1)/(2) |x - 1| < 2

E olha uma coisa aqui, podemos afirmar que

|sqrt(x + 3) - 2| < (1)/(2) |x - 1| s e (1)/(2) |x - 1| < 2

Então

|sqrt(x + 3) - 2| < 2

E como

2 < |sqrt(x + 3) + 2|

Podemos relacionar:

|sqrt(x + 3) - 2| < 2 < |sqrt(x + 3) + 2|

Ou seja,

|sqrt(x + 3) - 2| < |sqrt(x + 3) + 2|

O que confirma o que estávamos querendo provar.

Resposta

Demonstração nos passos acima.