underset(x -> 2)(lim) x^2 = 4

Passo 1

a)

Fala, galerinhaaa!

Temos que mostrar que:

|x^2 - 4| < 0,05 s e 0 < |x - 2| < 0,01

Ou seja, ele quer que a gente use o limite por definição formal. Lembrando...

underset(x -> c)(lim) f (x) = L

|f (x) - L| < ϵ s e 0 < |x - c| < delta

Onde, no nosso caso,

f (x) = x^2 ; L = 4 ; c = 2 ; ϵ = 0,05 ; delta = 0,01 .

Mão na massa!

Passo 2

Vamos começar aplicando o limite por definição:

|f (x) - L| < epsilon -> |x^2 - 4| < ϵ ( I )

0 < |x - c| < delta -> 0 < |x - 2| < delta ( I I )

Em ( I ) , temos:

|x^2 - 4| = |(x + 2) (x - 2)| = |x + 2| |x - 2|

Vamos supor que 0 < delta <= 1 , em ( I I ) temos:

0 < |x - 2| < 1

|x - 2| < 1

- 1 < x - 2 < 1

1 < x < 3

E para x + 2 , temos:

1 + 2 < x + 2 < 3 + 2

3 < x + 2 < 5

Logo,

|x + 2| < 5

Temos então:

|x^2 - 4| = |x + 2| |x - 2| < 5 |x - 2| s e |x - 2| < 1

Passo 3

Como sabemos que

|x - 2| < delta

E que

|x^2 - 4| < ϵ -> 5 |x - 2| < ϵ

|x - 2| < (ϵ)/(5)

Por comparação, vemos que:

delta = (ϵ)/(5)

Substituindo o valor de ϵ = 0,05 :

delta = (0,05)/(5) = 0,01

Que é exatamente o que estávamos procurando!

Tranquilo, né?

Resposta

Demonstração nos passos acima.