underset(x -> 3)(lim) (1)/(x) = (1)/(3)

Passo 1

Fala, galerinhaaa!

Temos que encontrar algum delta > 0 tal que

|(1)/(x) - (1)/(3)| < 10^(- 4) s e 0 < |x - 3| < delta

Ou seja, ele quer que a gente use o limite por definição formal. Lembrando...

underset(x -> c)(lim) f (x) = L

|f (x) - L| < ϵ s e 0 < |x - c| < delta

Onde, no nosso caso,

f (x) = (1)/(x) ; L = (1)/(3) ; c = 3 ; ϵ = 10^(- 4) = 0 , 0 001 .

Mão na massa!

Passo 2

Vamos começar aplicando o limite por definição:

|f (x) - L| < epsilon -> |(1)/(x) - (1)/(3)| < ϵ ( I )

0 < |x - c| < delta -> 0 < |x - 3| < delta ( I I )

Em ( I ) , temos:

|(1)/(x) - (1)/(3)| = |(3 - x)/(3 x)| = |(- 1) * (x - 3)/(3 x)| = 1 |(x - 3)/(3 x)| = |(x - 3) * (1)/(3 x)| = |x - 3| |(1)/(3 x)|

Vamos supor que 0 < delta <= 1 , em ( I I ) temos:

0 < |x - 3| < 1

|x - 3| < 1

- 1 < x - 3 < 1

2 < x < 4

E para (1)/(3 x) , temos:

3 * 2 < 3 * x < 4 * 3

6 < 3 x < 12

(1)/(6) > (1)/(3 x) > (1)/(12)

(1)/(12) < (1)/(3 x) < (1)/(6)

Logo,

|(1)/(3 x)| < (1)/(6)

Temos então:

|(1)/(x) - (1)/(3)| = |(1)/(3 x)| |x - 3| < (1)/(6) |x - 3| s e |x - 3| < 1

Passo 3

Como sabemos que

|x - 3| < delta

E que

|(1)/(x) - (1)/(3)| < ϵ -> (1)/(6) |x - 3| < ϵ

|x - 3| < 6 ϵ

Por comparação, vemos que:

delta = 6 ϵ

Substituindo o valor de ϵ = 0,00 0 1 :

delta = 6 * 0,0001 = 0,000 6

Tranquilo, né?

Resposta

delta = 6 ϵ = 0,000 6 = 6 * 10^(- 4)