underset(x -> 4)(lim) f (x)

f (x) = 8 x + 3

Passo 1

b)

Fala, galerinhaaa!

Aqui temos que mostrar que para qualquer ϵ > 0 , vale |f (x) - 35| < ϵ se |x - 4| < delta , onde delta = (ϵ)/(8) . Ele pede também pra explicar como isso prova rigorosamente que underset(x -> 4)(lim) f (x) = 35 .

Vamos olhar novamente a definição formal de limite, que é ela que vai nos ajudar aqui:

underset(x -> c)(lim) f (x) = L

Se, para qualquer ϵ > 0 , existir algum delta > 0 tal que

|f (x) - L| < ϵ s e 0 < |x - c| < delta

As informações dadas foram:

f (x) = 8 x + 3 ; c = 4 ; L = 35 ; ϵ > 0 ; delta = (ϵ)/(8) -> ϵ = 8 delta

Substituindo f (x) , L e c :

|f (x) - L| < epsilon -> |8 x + 3 - 35| < ϵ ( I )

0 < |x - c| < delta -> 0 < |x - 4| < delta ( I I )

Passo 2

Em ( I ) , temos:

|8 x + 3 - L| = |8 x - 32| = 8 |x - 4| < ϵ

|x - 4| < (ϵ)/(8)

Substituindo ϵ = 8 delta :

|x - 4| < (8 delta)/(8)

Logo,

|x - 4| < delta

O que nos confirma o que foi afirmado em (I I) .

Bem, como nós atendemos as exigências da definição formal de limite, provamos rigorosamente que:

underset(x -> 4)(lim) f (x) = 35

Resposta

Resposta dada nos passos acima.