underset(x -> 2)(lim) (1)/(2)

Passo 1

d)

Fala, galerinhaaa!

Ele está nos pedindo para provar, rigorosamente, que:

underset(x -> 2)(lim) (1)/(x) = (1)/(2)

Ou seja, ele quer que a gente use o limite por definição formal. Lembrando...

underset(x -> c)(lim) f (x) = L

|f (x) - L| < ϵ s e 0 < |x - c| < delta

Onde, no nosso caso,

f (x) = (1)/(x) ; L = (1)/(2) ; c = 2 .

Mão na massa!

Passo 2

Vamos começar aplicando o limite por definição:

|f (x) - L| < epsilon -> |(1)/(x) - (1)/(2)| < ϵ ( I )

0 < |x - c| < delta -> 0 < |x - 2| < delta ( I I )

Em ( I ) , temos:

|(1)/(x) - (1)/(2)| = |(2 - x)/(2 x)| = |(- 1) * (x - 2)/(2 x)| = 1 |(x - 2)/(2 x)| = |(x - 2) * ((1)/(2 x))| = |(1)/(2 x)| |x - 2|

Vamos supor que 0 < delta <= 1 , em ( I I ) temos:

0 < |x - 2| < 1

|x - 2| < 1

- 1 < x - 2 < 1

1 < x < 3

E para (1)/(2 x) , temos:

2 * 1 < 2 * x < 2 * 3

2 < 2 x < 6

(1)/(2) > (1)/(2 x) > (1)/(6)

(1)/(6) < (1)/(2 x) < (1)/(2)

Logo,

|(1)/(2 x)| < (1)/(2)

Temos então:

|(1)/(x) - (1)/(2)| = |(1)/(2 x)| |x - 2| < (1)/(2) |x - 2| s e |x - 2| < 1

Passo 3

Como sabemos que

|x - 2| < delta

E que

|(1)/(x) - (1)/(2)| < ϵ -> (1)/(2) |x - 2| < ϵ

|x - 2| < 2 ϵ

Lembrando que

|x - 2| < 1

Queremos relacionar delta com ϵ . Por comparação, vemos que:

delta = 2 ϵ

Conferindo se delta satisfaz a nossa relação:

|(1)/(x) - (1)/(2)| < (1)/(2) |x - 2| < (1)/(2) (2 ϵ) = ϵ

Assim, a seguinte afirmação vale para qualquer ϵ > 0 :

|(1)/(x) - (1)/(2)| < ϵ s e 0 < |x - 2| < delta

Tranquilo, né?

Resposta

Demonstração nos passos acima.