underset(x -> 2)(lim) f (x)

f (x) = 4 x - 1

Passo 1

c)

Fala, galerinhaaa!

Ele está nos pedindo para provar, rigorosamente, que:

underset(x -> 2)(lim) f (x) = 7

E como podemos fazer isso?

Exatamente, usando o limite por definição! Lembrando...

underset(x -> c)(lim) f (x) = L

|f (x) - L| < ϵ s e 0 < |x - c| < delta

QUE?!

Vamos substituir o que já nos foi dado:

|f (x) - L| < epsilon -> |4 x - 1 - 7| < ϵ ( I )

0 < |x - c| < delta -> 0 < |x - 2| < delta ( I I )

Passo 2

Em ( I ) , temos:

|4 x - 1 - 7| = |4 x - 8| = 4 |x - 2|

E em ( I I ) temos algo, digamos... familiar. Olha aqui:

0 < |x - 2| < delta

E queremos relacionar delta com ϵ .

Então, a gente tá procurando um valor para delta onde

4 |x - 2| < ϵ

Ou seja,

|x - 2| < (ϵ)/(4)

Seja válido sempre que 0 < |x - 2| < delta

Passo 3

Com essas informações, podemos definir por comparação, para nosso caso:

delta = (epsilon)/(4)

Assim, garantimos que |f (x) - 7| < ϵ sempre que 0 < |x - 2| < delta .

Uma coisa a ser levada em consideração é que podemos adotar outros valores para delta . Esse foi apenas o mais fácil de enxergar.

Resposta

delta = (epsilon)/(4)