underset(x -> 5)(lim) x^2 = 25

Passo 1

c)

Fala, galerinhaaa!

Ele está nos pedindo para provar, rigorosamente, que:

underset(x -> 5)(lim) x^2 = 25

Mostrando que

|x^2 - 25| < ϵ s e 0 < |x - 5| < delta

Onde delta é o menor entre (ϵ)/(11) e 1 .

Ou seja, ele quer que a gente use o limite por definição formal. Lembrando...

underset(x -> c)(lim) f (x) = L

|f (x) - L| < ϵ s e 0 < |x - c| < delta

Onde, no nosso caso,

f (x) = x^2 ; L = 25 ; c = 5 ; delta = (ϵ)/(11) .

Mão na massa!

Passo 2

Vamos começar aplicando o limite por definição:

|f (x) - L| < epsilon -> |x^2 - 25| < ϵ ( I )

0 < |x - c| < delta -> 0 < |x - 5| < delta ( I I )

Em ( I ) , temos:

|x^2 - 25| = |(x + 5) (x - 5)| = |x + 5| |x - 5|

Vamos supor que 0 < delta <= 1 , em ( I I ) temos:

0 < |x - 5| < 1

|x - 5| < 1

- 1 < x - 5 < 1

4 < x < 6

E para x + 5 , temos:

4 + 5 < x + 5 < 6 + 5

9 < x + 5 < 11

Logo,

|x + 5| < 11

Temos então:

|x^2 - 25| = |x + 5| |x - 5| < 11 |x - 5| s e |x - 5| < 1

Passo 3

Como sabemos que

|x - 5| < delta

E que

|x^2 - 5| < ϵ -> 11 |x - 5| < ϵ

|x - 5| < (ϵ)/(11)

Lembrando que

|x - 5| < 1

Queremos relacionar delta com ϵ . Por comparação, vemos que:

delta = (ϵ)/(11)

Conferindo se delta satisfaz a nossa relação:

|x^2 - 25| < 11 |x - 5| < 11 ((ϵ)/(11)) = ϵ

Assim, a seguinte afirmação vale para qualquer ϵ > 0 :

|x^2 - 25| < ϵ s e 0 < |x - 5| < delta o n d e delta é o m e n o r e n t r e (ϵ)/(11) e 1 .

Tranquilo, né?

Resposta

Demonstração nos passos acima.