f (x) = (4)/(x^2 + 1) ; underset(x -> (1)/(2))(lim) f (x) = L = (16)/(5) = 3,2

Passo 1

Fala, galerinhaaa!

Nessa primeira parte, vamos usar ϵ = 0,5

Para começar vamos esboçar as retas horizontais y = L - ϵ e y = L + ϵ junto de f (x) :

y_1 = L - ϵ = 3,2 - 0,5 = 2,7

y_2 = L + ϵ = 3,2 + 0,5 = 3,7

Com esse esboço, temos que encontrar algum valor de delta > 0 tal que

|f (x) - (16)/(5)| < ϵ s e |x - (1)/(2)| < delta

Onde, no nosso caso,

f (x) = (4)/(x^2 + 1) ; L = (16)/(5) = 3,2 ; c = (1)/(2) ; ϵ = 0 , 5 .

Podemos perceber que quando f (x) = y_1 = 2,7 :

2,7 = (4)/(x_1^2 + 1)

x_1 = sqrt((4)/(2,7) - 1)

x_1 tildetilde 0 , 6939

E quando f (x) = y_2 = 3,7 :

3,7 = (4)/(x_2^2 + 1)

x_2 = sqrt((4)/(3,7) - 1)

x_2 tildetilde 0 , 2847

E o ponto médio entre x_1 e x_2 é:

(0 , 6939 + 0 , 2847)/(2) tildetilde 0 , 4893 tildetilde 0,5

Que é justamente o nosso valor de c !

Vou mostrar isso no gráfico

Onde,

c + delta = 0 , 6939 -> 0,5 + delta = 0 , 6939 -> delta = 0,1939 tildetilde 0,2

Logo,

delta = 0,2

Passo 2

Repetindo o exercício para ϵ = 0 , 2 :

Para começar vamos esboçar as retas horizontais y = L - ϵ e y = L + ϵ junto de f (x) :

y_1 = L - ϵ = 3,2 - 0 , 2 = 3,0

y_2 = L + ϵ = 3,2 + 0 , 2 = 3 , 4

Com esse esboço, temos que encontrar algum valor de delta > 0 tal que

|f (x) - (16)/(5)| < ϵ s e |x - (1)/(2)| < delta

Onde, no nosso caso,

f (x) = (4)/(x^2 + 1) ; L = (16)/(5) = 3,2 ; c = (1)/(2) ; ϵ = 0 , 2 .

Podemos perceber que quando f (x) = y_1 = 3,0 :

3 = (4)/(x_1^2 + 1)

x_1 = sqrt((4)/(3) - 1)

x_1 tildetilde 0 , 577

E quando f (x) = y_2 = 3 , 4 :

3 , 4 = (4)/(x_2^2 + 1)

x_2 = sqrt((4)/(3 , 4) - 1)

x_2 tildetilde 0 , 420

E o ponto médio entre x_1 e x_2 é:

(0 , 577 + 0 , 420)/(2) tildetilde 0,4 98 tildetilde 0,5

Que é justamente o nosso valor de c !

Vou mostrar isso no gráfico

Onde,

c + delta = 0 , 577 -> 0,5 + delta = 0 , 577 -> delta = 0 , 077 tildetilde 0 , 08

Logo,

delta = 0 , 08

Passo 3

Fala, galerinhaaa!

Repetindo mais uma vez para ϵ = 0 , 1

Para começar vamos esboçar as retas horizontais y = L - ϵ e y = L + ϵ junto de f (x) :

y_1 = L - ϵ = 3,2 - 0 , 1 = 3 , 1

y_2 = L + ϵ = 3,2 + 0 , 1 = 3 , 3

Com esse esboço, temos que encontrar algum valor de delta > 0 tal que

|f (x) - (16)/(5)| < ϵ s e |x - (1)/(2)| < delta

Onde, no nosso caso,

f (x) = (4)/(x^2 + 1) ; L = (16)/(5) = 3,2 ; c = (1)/(2) ; ϵ = 0 , 1 .

Podemos perceber que quando f (x) = y_1 = 3,1 :

3 , 1 = (4)/(x_1^2 + 1)

x_1 = sqrt((4)/(3 , 1) - 1)

x_1 tildetilde 0 , 5388

E quando f (x) = y_2 = 3 , 3 :

3 , 3 = (4)/(x_2^2 + 1)

x_2 = sqrt((4)/(3 , 3) - 1)

x_2 tildetilde 0 , 4606

E o ponto médio entre x_1 e x_2 é:

(0 , 5388 + 0 , 4606)/(2) tildetilde 0,4 997 tildetilde 0,5

Que é justamente o nosso valor de c !

Vou mostrar isso no gráfico

Onde,

c + delta = 0 , 5388 -> 0,5 + delta = 0 , 5388 -> delta = 0 , 0,0388 tildetilde 0 , 04

Logo,

delta = 0 , 04

Resposta

ϵ = 0,5 -> delta = 0 , 2

ϵ = 0,2 -> delta = 0,08

ϵ = 0,1 -> delta = 0,04