Responde Aí

Enunciado

(c) ache o domínio de f ’

f x = ∑ n = 1 + ∞ - 1 n - 1 ⋅ x 2 n - 1 2 n - 1 !

Passo 1

Então é isso pessoal, vamos determinar primeiro a derivada da potência de séries aplicando o teorema 13.2.1;

Se tivermos uma série ∑ n = 0 + ∞ c n x n sendo uma série de potências com um raio de convergência R > 0 então poderemos determinar uma derivada da série ∑ n = 1 + ∞ n c n x n - 1 também terá R como raio de convergência.

Depois mais uma vez utilizaremos o teorema da razão onde o l i m n → ∞ u n + 1 u n = L , para descobrirmos o domínio de   f ’

Obs.: serão os mesmos procedimentos que já fizemos no item 5b, mas colocarei aqui para não perderem tempo voltando assunto.

Vamos com tudo pessoal!

Passo 2

Como já vimos, vamos determinar a derivada atribuída para a série

f ' x = ∑ n = 2 ∞ - 1 n - 1 ⋅ 2 n - 1 ∙ x 2 n - 2 2 n - 1 ! = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 ⋅ 2 n - 1 ⋅ x 2 n - 2 2 n - 1 ∙ 2 n - 2 !

f ' ( x ) = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 ∙ x 2 n - 2 2 n - 2 !

Em seguida, vamos utilizar o teorema da razão, onde encontraremos os possíveis extremos do nosso domínio, antes vamos determinar cada termo do limite atribuído na série que nos foi dada:

u n = - 1 n - 1 ∙ x 2 n - 2 2 n - 2 !

u n + 1 = - 1 n ⋅ x 2 n 2 n !

Substituindo os termos encontrados no limite.

l i m n → ∞ - 1 n ⋅ x 2 n 2 n !   - 1 n - 1 ∙ x 2 n - 2 2 n - 2 ! = l i m n → ∞ - 1 n - 1 ∙ - 1 n ⋅ x 2 n 2 n ! ∙ 2 n - 2 ! x 2 n - 2

= l i m n → ∞ 2 n - 2 ! 2 n ! ⋅ 1 x - 2 = l i m n → ∞ 2 n - 2 ! 2 n 2 n - 1 2 n - 2 ! ⋅ x 2

l i m n → ∞ 1 2 n 2 n - 1 ⋅ x 2 = 0

Olha só pessoal!!!

Como o limite torna-se 0 (zero), então para a potência de série converge para todos os valores de x , pois 0 < 1 , logo poderemos afirmar que o raio de convergência é + ∞ .

Portanto galera não para onde escapar o D o m ( f ’ ) = - ∞ , + ∞  

Então é isso pessoal!!Espero que tenham compreendido e nos vemos na próxima.

Resposta

- ∞ , + ∞