Enunciado

(c) ache o domínio de f ’

f x = ∑ n = 0 + ∞ x 2 n n ! 2

Passo 1

Então é isso pessoal, vamos terminar a 6ª questão com grande estilo.

Primeiro devemos determinar primeiro a derivada da potência de séries aplicando o teorema 13.2.1;

Se tivermos uma série ∑ n = 0 + ∞ c n x n sendo uma série de potências com um raio de convergência R > 0 então poderemos determinar uma derivada da série ∑ n = 1 + ∞ n c n x n - 1 também terá R como raio de convergência.

Depois mais uma vez utilizaremos o teorema da razão onde o l i m n → ∞ u n + 1 u n = L , para descobrirmos o domínio de   f ’

Obs.: percebam pessoal que alguns procedimentos aqui já fizemos no item 5b, mas colocarei aqui para não perderem tempo voltando ao assunto.

Vamos com tudo pessoal!

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a derivada atribuída para a série e racionalizar para não perdermos tempo

f ' x = ∑ n = 2 ∞ 2 n ∙ x 2 n - 1 n ! 2

Seguindo o que nos foi dado... vamos utilizar o teorema da razão, onde encontraremos o raio que precisamos, antes vamos determinar cada termo do limite atribuído na série que nos foi dada:

u n = 2 n ∙ x 2 n - 1 n ! 2

u n + 1 = 2 ( n + 1 ) ∙ x 2 n + 1 [ n + 1 ! ] 2

Substituindo os termos encontrados no limite.

l i m n → ∞ 2 ( n + 1 ) ∙ x 2 n + 1 [ n + 1 ! ] 2   2 n ∙ x 2 n - 1 n ! 2 = l i m n → ∞ 2 ( n + 1 ) ∙ x 2 n + 1 [ n + 1 ! ] 2 ∙ n ! 2 2 n ∙ x 2 n - 1

= l i m n → ∞ n ! 2 [ n + 1 ! ] 2 ∙ n + 1 n ∙ x 2 n + 1 x 2 n - 1 = l i m n → ∞ n ! n + 1 ! 2 ∙ n + 1 n ∙ x + 1 x - 1

l i m n → ∞ n ! n + 1 ⋅ n ! 2 ∙ n + 1 n ∙ x ² = l i m n → ∞ 1 n + 1 ⋅ n x 2 = 0

Olha só pessoal!!!

Como o limite torna-se 0 (zero), então para a potência de série converge para todos os valores de x , pois 0 < 1 , logo poderemos afirmar que o raio de convergência é + ∞ .

Portanto galera não para onde escapar o D o m ( f ’ ) = - ∞ , + ∞  

Então é isso pessoal!!Espero que tenham compreendido e nos vemos na próxima.

Resposta

- ∞ , + ∞

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