O que é maior: raiz(2,1) - raiz(2) ou raiz(9,1) - raiz(9) ? Explique usando a aproximação linear.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Se f é diferenciável em x = a e Δ x é bemmmm pequeno,

então Δ f   ≈   f ' ( a ) Δ x   ( 1 )

onde Δ f   =   f ( a   +   Δ x )   -   f ( a ) .

f ( a   +   Δ x )   ≈   f ( a )   +   f ' ( a ) Δ x     ( 2 )

Passo 2

nós precisamos estimar 1 101 - 1 100 e se compararmos com o teorema (1)

f ( x )   =   1 x ,   a   =   100   e   Δ x   =   1

usando o teorema (1) Δ f   ≈   f ' ( a ) Δ x

f ( x )   =   1 x   =   x - 1 / 2

f ' ( x )   =   d d x ( x - 1 / 2 )

f ' ( x )   =   1 2 ( x ) - 1 / 2 - 1

f ' ( x )   =   - 1 2 x - 3 / 2

f ' ( 100 )   =   1 2 ∙ 1 00 3 / 2 = 0.0005

f ( a + Δ x )   ≈   f ( a )   +   f ' ( a ) Δ x

f ( 100 + 1 )   ≈   f ( 100 )   +   f ' ( 100 ) ∙ 1

1 101   ≈ 1 100 + ( - 0.0005 )

1 101 - 1 100 ≈ - 0.0005

Uma calculadora diz que 1 101 - 1 100 ≈ - 0.000496 e por aproximação linear nós temos que 1 101 - 1 100 ≈ - 0.0005

então o erro de aproximação é de | 0.0005 - 0.000496 |   = 0.000004

Resposta

erro de aproximação é de | 0.0005 - 0.000496 |   = 0,000004