Enunciado

Uma massa de 10 libras distende uma mola em 1 4 p é . Essa massa é removida e substituída por outra massa de 1,6 slug, a qual é solta 1 3   p é acima da posição de equilíbrio a uma velocidade de 5 4 p é s para baixo.

  1. Expresse a equação do movimento na forma dada em (6).
  2. Expresse a equação do movimento na forma dada em (6’).
  3. Em que instante a massa atinge um deslocamento numericamente igual a 1 2 da amplitude?

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Seguinte, cara... Chega junto.

Temos que:

10 = k 1 4

k = 40 l i b r a p é

Logo a EDO que temos é nesse formato:

x ' ' + 40 1,6   x = 0

Fazendo 40 1,6 = ω 2

Passo 2

E para x = e λ t ; x ' ' = λ 2 e λ t    

e λ t λ 2 + ω 2 = 0                             ( 0.2 )

λ = ± i ω                   ( 0.3 )

Logo:

x h t = c 1 e + i ω t + c 2 e - i ω t                             ( 0.4 )

x h t = c 1 cos ⁡ ω t + i s e n ω t + c 2 cos ⁡ ω t - i s e n ω t                     ( 0.5 )

x h t = c 1 + c 2 cos ⁡ ω t + c 1 - c 2 i   s e n ω t                     ( 0.6 )

Fazendo a =   c 1 + c 2   e   b = c 1 - c 2 i

x h t = a cos ⁡ ω t + b s e n ω t                     ( 0.7 )

Para achar os valores a e   b usemos os valores iniciais:

  1. É dito que a massa é solta de um ponto 1 3   p é acima da posição de equilíbrio, logo x 0 = - 1 3
  2. É também dito que é solta com velocidade inicial de 5 4 p é s para baixo, logo x ' 0 = 5 4

Assim:

x 0 = - 1 3 = a

x ' 0 = 5 4 = b ω → b = 5 4 ω

Logo:

x t = - 1 3 cos ⁡ ω t + 5 4 ω s e n ω t

Relembrando ω = 40 1,6 = 5

x t = - 1 3 cos ⁡ 5 t + 1 4 s e n ( 5 t )

Passo 3

A forma expressada em (6) é:

x t = A   s e n ω t + ϕ

Façamos em certos casos a = - 1 3 ; b = 1 4

Sabemos que:

A = a 2 + b 2

s e n ϕ = a A

cos ⁡ ϕ = b A

Logo:

A = - 1 3 2 + 1 4 2 = 5 12

E:

ϕ = sen - 1 ⁡ - 4 5 = - 0,927

Resposta

Ficando ao final:

x t = 5 12   s e n ( 5 t - 0,927 )

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