Uma massa de 100 gramas é presa a uma mola cuja constante elástica é 1.600 * (dinas / cm) Depois da massa atingir o equilíbrio, seu suporte oscila de acordo com a formula h(t) = s * sen(8t) em que h representa o deslocamento a partir da posição de equilíbrio

  1. Na ausência de amortecimento qual é a equação do movimento se a massa parte do repouso a partir da posição de equilíbrio.
  2. Quais são os valores de t pelos quais a massa passa pela posição de equilíbrio?
  3. Quais são os valores de t pelos quais a massa atinge seus deslocamentos extremos?
  4. Quais são os deslocamentos máximo e mínimo?
  5. Faça o gráfico da equação do movimento

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Primeiro, vamos homogeneizar as unidas.

Sabemos que:

1   d i n a = 10 - 5 N

1600   d i n a   = x     N

x = 1,6   10 - 2   N

Logo fazendo:

N m = d i n a c m

1,6 N m = 1600 d i n a c m

Logo temos que:

k = 1,6 N m

Logo nossa EDO fica:

x ' ' + 1,6 0,1 x = s e n 8 t

Passo 2

Chamemos de ω 0 2 = 1,6 0,1 .

x ' ' + ω 0 2 x = s e n 8 t

A EDO acima é caracterizada como de segunda ordem, não homogênea e de coeficientes constantes. EDO’s desse tipo tem como solução a soma de duas soluções chamadas de solução particular x h t e solução homogênea x h t . Para nós, físicos, geralmente chamada de solução transiente/transitória ( x h t ) e solução estacionária ( x p ( t ) )

Para x h :

x ' ' + ω 0 2 = 0

Façamos x = e λ t ;     x ' ' = λ 2 e λ t

e λ t λ 2 + ω 0 2 = 0

λ = ± i ω 0

Logo:

x h t = c 1 e i ω 0 t + c 2 e - i ω 0 t

x h t = c 1 cos ⁡ ω 0 t + i s e n ω 0 t + c 2 cos ⁡ ω 0 t - i s e n ω 0 t

x h t = c 1 + c 2 cos ⁡ ω 0 t + i c 1 - c 2 s e n ω 0 t

Fazendo a = c 1 + c 2 ;     b = i c 1 - c 2

x h t = a cos ⁡ ω 0 t + b   s e n ω 0 t

Para achar os valores e A e B usemos as condições:

  1. É dito que a massa é solta da posição de equilíbrio, logo   x 0 = 0
  2. Também que parte do repouso, logo x ' 0 = 0

Assim:

x 0 = 0 = a

x ' 0 = 0 = b ω 0

Logo vemos que:

x h t = 0

Passo 3

Agora para x h t :

x ' ' + ω 0 2   x = s e n 8 t

Soluções de uma EDO desse tipo constitui um espaço vetorial de dimensão 2 que comportam infinitas soluções. Deste modo, façamos uma função parecida. Assim:

y ' ' + ω 0 2 y = cos ⁡ 8 t

E uma função complexa z = y + i x para nos auxiliar a solucionar o problema das duas funções.

De forma eu podemos somar y i vezes a função x, de forma que:

z ' ' + ω 0 2 z = e i 8 t

Façamos z = C e i 8 t ;     z ' ' = C i 8 2 e i 8 t

Logo:

C e i 8 t - 8 + ω 0 2 = e i 8 t

C = 1 ω 0 2 - 8

Logo:

x p t = C c o s 8 t =   1 ω 0 2 - 8   c o s ⁡ ( 8 t )

Relembrando ω 0 2 = 1,6 0,1 = 16

x p t = 1 8 cos ⁡ 8 t

Resposta

Logo temos que a solução mais geral da EDO x ' ' + ω 0 2 x = s e n 8 t   é:

x t = x p t + x h t = 1 8 s e n ( 8 t ) + 0  

Faz sentido a solução ser regida somente pela força externa, visto que o sistema estava parado na posição de equilíbrio até que a força externa agisse sobre o mesmo, logo toda o movimento deve ser regido pela força externa.