Uma massa de 100 gramas é presa a uma mola cuja constante elástica é Depois da massa atingir o equilíbrio, seu suporte oscila de acordo com a formula em que h representa o deslocamento a partir da posição de equilíbrio
- Na ausência de amortecimento qual é a equação do movimento se a massa parte do repouso a partir da posição de equilíbrio.
- Quais são os valores de t pelos quais a massa passa pela posição de equilíbrio?
- Quais são os valores de t pelos quais a massa atinge seus deslocamentos extremos?
- Quais são os deslocamentos máximo e mínimo?
- Faça o gráfico da equação do movimento
Passo 1
Faaaala, cara! Tranquileba?
Primeiro, vamos homogeneizar as unidas.
Sabemos que:
Logo fazendo:
Logo temos que:
Logo nossa EDO fica:
Passo 2
Chamemos de
A EDO acima é caracterizada como de segunda ordem, não homogênea e de coeficientes constantes. EDO’s desse tipo tem como solução a soma de duas soluções chamadas de solução particular e solução homogênea Para nós, físicos, geralmente chamada de solução transiente/transitória ( e solução estacionária (
Para
Façamos
Logo:
Fazendo
Para achar os valores e A e B usemos as condições:
- É dito que a massa é solta da posição de equilíbrio, logo
- Também que parte do repouso, logo
Assim:
Logo vemos que:
Passo 3
Agora para
Soluções de uma EDO desse tipo constitui um espaço vetorial de dimensão 2 que comportam infinitas soluções. Deste modo, façamos uma função parecida. Assim:
E uma função complexa para nos auxiliar a solucionar o problema das duas funções.
De forma eu podemos somar y i vezes a função x, de forma que:
Façamos
Logo:
Logo:
Relembrando
Resposta
Logo temos que a solução mais geral da EDO é:
Faz sentido a solução ser regida somente pela força externa, visto que o sistema estava parado na posição de equilíbrio até que a força externa agisse sobre o mesmo, logo toda o movimento deve ser regido pela força externa.