Enunciado

Uma massa de 40 g distende uma mola em 10 cm. Um dispositivo de amortecimento impõe uma resistência ao movimento numericamente igual a 560 vezes a velocidade instantânea. Encontre a equação de movimento se a massa parte da posição de equilíbrio com uma velocidade de 2 cm/s para baixo.

Passo 1

E aíí, vamos lá pra mais um

Temos que montar o nosso problema de valor inicial

Para isso, vamos lembrar do modelo de um sistema massa mola amortecido:

m d 2 x d t 2 + β d x d t + k x = 0

No nosso caso, temos m = 40   g , e como “amortecimento impõe uma resistência ao movimento numericamente igual a 560 vezes a velocidade instantânea”, temos β = 560 . Agora vamos encontrar a constante k usando a informação de que “Uma massa de 40 g distende uma mola em 10 cm”, ou seja: k = 40 . 9,8 10.10 - 2 m = 3920 . Então:

40 d 2 x d t 2 + 560 d x d t + 3920 x = 0

O enunciado também fala que “a massa parte da posição de equilíbrio com uma velocidade de 2 cm/s para baixo”

Então temos:

x 0 = 0

x ' 0 = 2

Agora precisamos resolver esse PVI ta bom?

Passo 2

Temos

40 d 2 x d t 2 + 560 d x d t + 3920 x = 0

x 0 = 0

x ' 0 = 2

Isso é uma equação diferencial linear de segunda ordem que tem como solução geral:

x t = c 1 . e - 7 t . s e n 7 t + c 2 . e -   7 t . c o s ⁡ ( 7 t )

Aplicando as condições iniciais, encontramos c 1 = 2 7 e c 2 = 0 :

x t = 2 7 . e - 7 t . s e n 7 t

Resposta

x t = 2 7 . e - 7 t . s e n 7 t

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