Enunciado

Uma massa peando 10 libras é presa a uma mola, distendo-a em 2 pés. A massa está presa em dispositivo atenuador que oferece uma força amortecimento numericamente igual a β ( β > 0 ) vezes a velocidade instantânea. Determine os valores da constante β de tal forma que o movimento subsequente seja a) superamortecido, b) criticamente amortecido, c) subamortecido.

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Temos que:

10 = 2 k → k = 5 l i b r a s p é s  

Logo temos a EDO:

x ' ' + β m x ' + k m x = 0

Passo 2

Façamos x = e λ t ;     x ' = λ e λ t ;     x ' ' = λ 2 e λ t

Logo:

e λ t λ 2 + β m   λ + k m = 0

λ 2 + β m   λ + k m = 0

λ = - β m ± β m 2 - 4 k m 2

Lembrando m = 10 ; k = 5

λ = β 2 m ± β 20 2 - 1 2

Passo 3

Lembremos os três casos que determinam qual o regime de amortecimento do sistema:

  1. Superamortecimento: β 2 m 2 > k m
  2. Criticamente amortecido: β 2 m 2 = k m
  3. Subamortecido: β 2 m 2 < k m

Resposta

Sabendo isso, vemos que, para o Superamortecimento:

β 20 2 > 1 2

β 20 > 1 2

β > 20 2

Para o crítico:

β 20 2 = 1 2

β 20 = 1 2

β = 20 2

E subamortecido:

β 20 2 < 1 2

β 20 < 1 2

β < 20 2

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