Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill, Equações Diferenciais com aplicação - Capítulo 5.Revisão - Ex. 19

Uma massa peando 4 libras está suspensa por uma mola cuja constante é 3 l i b r a s p é . Todo o sistema é imerso em um fluído que oferece uma força de amortecimento numericamente igual à velocidade instantânea. A partir de t = 0 , uma força externa igual a f t = e - 1 t é aplicado ao sistema. Qual será a equação de movimento se a massa for solta a partir do repouso de um ponto 2 pés acima da posição de equilíbrio?

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Temos que:

4 x ' ' + x ' + 3 x = e - 1 t

x ' ' + 1 4 x ' + 3 4 x = 1 4 e - 1 t

Façamos F 0 = β = 1 4 ;     ω 0 2 = 3 4

x ' ' + β x ' + ω 0 2 x = F 0 e - 1 t

Passo 2

Sabemos que uma equação diferencial linear, não homogênea de coeficientes constantes e de segunda ordem, admite como solução geral é a soma da solução transiente x h com a solução estacionário x p . Sendo, portanto, x t = x p + x h

Para x h :

x ' ' + β x ' + ω 0 2 x = 0

Façamos x = e λ t ;     x ' = λ e λ t ;     x ' ' λ 2 e λ t

e λ t λ 2 + β λ + ω 0 2 = 0

λ 2 + β λ + ω 0 2 = 0

λ = - β 2 ± β 2 2 - ω 0 2

Lembrando β = 1 4 ;     ω 0 2 = 3 4

λ = - 1 8 ± 1 8 2 - 3 4

Logo vemos que:

1 8 2 - 3 4 < 0

E percebemos que λ ∈ C

Logo:

λ = - 1 8 ± i 3 4 - 1 8 2

Retornando:

λ = - β 2 ± i ω 0 2 - β 2 2

Façamos ω 0 2 - β 2 2 = ω

λ = - β 2 ± i ω

E temos como solução:

x h t = c 1 e t - β 2 + i ω + c 2 e - t β 2 + i ω

x h t = e - β 2   t c 1 e i ω t + c 2 e - i ω t

Para ( c 1 e i ω t + c 2 e - i ω t ) :

c 1 cos ⁡ ω t + i s e n ω t + c 2 cos ⁡ ω t - i s e n ω t                    

c 1 + c 2 cos ⁡ ω t + c 1 - c 2 i   s e n ω t                    

Fazendo a =   c 1 + c 2   e   b = c 1 - c 2 i

a cos ⁡ ω t + b s e n ω t

Onde a e b são definidos pelas condições iniciais:

  1. Temos que a massa é solta 2 pés acima da posição de equilíbrio, logo x 0 = - 2
  2. É também dito que ela parte de repouso, logo x ' 0 = 0

x 0 = - 2 = a

x ' 0 = 0 = b ω → b = 0

Logo:

x h t = - 2   e - β 2   t cos ⁡ ω t

Lembrando β = 1 4 ;     ω = 3 4 - 1 64 = 47 8

x h t = - 2 e   - 1 8   t cos ⁡ 47 8     t

Passo 3

Para x p :

x ' ' + β x ' + ω 0 2 x = F 0 e - 1 t

Façamos x = m e - 1 t ;     x ' m = - m e - 1 t ;     x ' ' = m e - 1 t

m e - 1 t 1 - β + ω 0 2 = F 0   e - 1 t

m = F 0 1 - β + ω 0 2

m = 1 4 1 - 1 4 + 3 4 = 1 6

Assim:

x p t = 1 6   e - 1 t

Portanto:

x t = x h t + x p t

x t = - 2 e   - 1 8   t cos ⁡ 47 8     t + 1 6   e - 1 t

Resposta

x t = - 2 e   - 1 8   t cos ⁡ 47 8     t + 1 6   e - 1 t

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