Enunciado

Depois que uma massa pesando 10 libras é presa a uma mola de 5 pés, a mola passa a medir 7 pés de comprimento. A massa é então removida e substituída por outra de 8 libras. O sistema todo é posto então em um meio que uma força de amortecimento numericamente igual a velocidade instantânea.

  1. Encontre a equação do movimento supondo que a massa seja solta incialmente solta do ponto 1 2   p é abaixo da posição de equilíbrio e a uma velocidade de 1 pé/s para baixo
  2. Expressa a equação do movimento na forma dada em (23)
  3. Ache o instante no qual a massa passa pela posição de equilíbrio dirigindo-se para baixo
  4. Faça ao gráfico do movimento.

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Temos que:

10 = k 7 - 5 → k = 5 l i b r a s p é s

Temos emntão:

x ' ' + 1 8   x ' + 5 8 x = 0

Façamos ;     5 8 = ω 0 2 1 8 = β

x ' ' + β x ' + ω 0 2 x = 0

Passo 2

Fazendo x = e λ t ;     λ e λ t ;     x ' ' = λ 2 e λ t

Assim:

e λ t λ 2 + β λ + ω 0 2 = 0

λ 2 + β λ + ω 0 2 = 0

λ = - β 2 ± β 2 2 - ω 0 2

Lembrando: β = 1 8 ;     e   ω 0 2 = 5 8

Vemos logo que λ ∈ C

Logo:

λ = -   β 2 ± i ω 0 2 - β 2 2

Fazendo ω = ω 0 2 - β 2 2

λ = -   β 2 ± i ω

Passo 3

Assim:

x h t = c 1 e - β 2 + i ω t + c 2 e - t β 2 + i ω

x h t = e - β t 2 c 1 e i   ω t + c 2 e - i   ω t

x h t = e - β t 2 c 1 cos ⁡ ω t + i s e n ω t + c 2 cos ⁡ ω t - i s e n ω t

x h t = e -     β t 2 c 1 + c 2 cos ⁡ ω t + i c 1 - c 2 s e n ω t

Fazendo a = c 1 + c 2 ;     b = i c 1 - c 2 .

x h t = e -   β t 2 ( a cos ⁡ ω t + b   s e n ( ω t ) )  

P

ara: a cos ⁡ ω t + b   s e n ω t ,     encontraremos os valores de A e B pelas condições iniciais. Veja:

  1. É dito que a massa é solta de um ponto 1 2 pé abaixo da posição de equilíbrio, logo x 0 = 1 2
  2. É também dito que a massa é solta com uma velocidade 1 p é s para baixo, logo x ' 0 = 1

Assim:

x 0 = 1 2 = a

x ' 0 = 1 = b ω → b = 1 ω

Logo:

x h t = e -   β t 2 ( 1 2 cos ⁡ ω t + 1 ω s e n ( ω t ) )  

Lembrando ;     5 8 = ω 0 2 ;     1 8 = β     e   ω = ω 0 2 - β 2 2

x h t = e -   t 16   ( 1 2 cos ⁡ 5 8 - 1 16 2       t + 1 5 8 - 1 16 2 s e n 5 8 - 1 16 2       t )    

Resposta

  1. x h t = e -   t 16   (   1 2 cos ⁡ 5 8 - 1 16 2       t + 1 5 8 - 1 16 2 s e n 5 8 - 1 16 2       t )      

  2. x h t = 1183 636   e - t 16   s e n 5 8 - 1 16 2 t + 0,375

  3. Será quando x h t = 0 , o que implica s e n 5 8 - 1 16 2 t + 0,375 = 0
  4. s e n 5 8 - 1 16 2 t + 0,375 = 0

    5 8 - 1 16 2 t + 0,375 = sin - 1 ⁡ ( 0 )

    5 8 - 1 16 2 t = sin - 1 ⁡ 0 - 0,375

    t = 1 5 8 - 1 16 2 ( sin - 1 ⁡ 0 - 0,375 )    

Veja que à medida que t aumenta, a equação tende ao zero.