Uma massa pesando 16 libras, distende uma mola em A massa é incialmente solta do repouso no ponto abaixo da posição de equilíbrio. O movimento subsequente tem lugar em um meio que oferece uma força de amortecimento numericamente igual da velocidade instantânea. Qual a equação do movimento se a massa sofre a ação de uma força externa igual a
Passo 1
Faaaala, cara! Tranquileba?
Temos que:
Logo a EDO fica nesse formato:
Passo 2
Fazendo:
A EDO acima é caracterizada como de segunda ordem, não homogênea e de coeficientes constantes. EDO’s desse tipo tem como solução a soma de duas soluções chamadas de solução particular e solução homogênea Para nós, físicos, geralmente chamada de solução transiente/transitória ( e solução estacionária (.
Para
Fazendo
Ficando:
Lembrando: .
Vemos que e que nos leva para
Ficando dessa forma:
Fazendo:
E logo ficará;
Fazendo
Para: encontraremos os valores de A e B pelas condições iniciais. Veja:
- É dito que a massa é sota de um ponto 2 pés abaixo da posição de equilíbrio, logo
- É também dito que a massa é solta do repouso, logo
Assim:
Tendo que , teremos:
Relembrando
FÁCIL NÉ? (UMA OVA HAHAAHH)
Passo 3
Agora para
Façamos
Soluções de uma EDO desse tipo constitui um espaço vetorial de dimensão 2 que comportam infinitas soluções. Deste modo, façamos uma função parecida. Assim:
De modo que podemos formar uma função
Façamos
Ficando:
Ficando:
Que ainda constitui um valor que contem imaginário. Estamos resolvendo a equação para um problema real, logo não é normal haver uma parte imaginário. Para eliminá-lo, multipliquemos pelo seu conjugado:
Ficando:
Logo:
Logo:
Relembrando:
Resposta
Como dito antes, a solução geral é soma das solução homogênea e particular, logo: