Enunciado

Uma massa pesando 16 libras, distende uma mola em 8 3 p é s . A massa é incialmente solta do repouso no ponto 2   p é s abaixo da posição de equilíbrio. O movimento subsequente tem lugar em um meio que oferece uma força de amortecimento numericamente igual 1 2 da velocidade instantânea. Qual a equação do movimento se a massa sofre a ação de uma força externa igual a f t = 10 cos ⁡ 3 t ?

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Temos que:

16 = 8 3 k → k = 6 l i b r a s p é

Logo a EDO fica nesse formato:

x ' ' + 1 32 x ' + 6 16 x = 10 16 c o s ⁡ ( 3 t )

Passo 2

Fazendo: 6 16 = ω 0 2 ;   1 32 = β

x ' ' + β x ' + ω 0 2 x = 5 8 c o s ⁡ ( 3 t )

A EDO acima é caracterizada como de segunda ordem, não homogênea e de coeficientes constantes. EDO’s desse tipo tem como solução a soma de duas soluções chamadas de solução particular x h t e solução homogênea x h t . Para nós, físicos, geralmente chamada de solução transiente/transitória ( x h t ) e solução estacionária ( x p ( t ) ) .

Para x h :

x ' ' + β x ' + ω 0 2 x = 0

Fazendo x = e λ t ;     x ' = λ e λ t ;     x ' ' = λ 2 e λ t

Ficando:

e λ t λ 2 + β λ + ω 0 2 = 0

λ = - β ± β 2 - 4 ω 0 2 2

λ = - β 2 ± β 2 2 - ω 0 2

Lembrando: β 2 2 = 1 32 2 2 = 1 64 2 ;       ω 0 2 = 6 16 .

Vemos que ω 0 2 > β 2 2 e que nos leva para λ ∈   C

Ficando dessa forma:

λ = - β 2 ± i ω 0 2 - β 2 2

Fazendo: ω = ω 0 2 - β 2 2

λ =   - β 2 ± i ω

E logo ficará;

x h t = c 1 e -   β 2 + i ω t + c 2 e -   β 2 - i ω t

x h t = e - β 2 t ( c 1 e i ω t + c 2 e - i ω t )

x h t = e - β t 2 c 1 cos ⁡ ω t + i s e n ω t + c 2 cos ⁡ ω t - i s e n ω t

x h t = e β t 2 c 1 + c 2 cos ⁡ ω t + i c 1 - c 2 s e n ω t

Fazendo a = c 1 + c 2 ;     b = i c 1 - c 2 .

x h t = e β t 2 ( a cos ⁡ ω t + b   s e n ( ω t ) )  

Para: a cos ⁡ ω t + b   s e n ω t ,     encontraremos os valores de A e B pelas condições iniciais. Veja:

  1. É dito que a massa é sota de um ponto 2 pés abaixo da posição de equilíbrio, logo x 0 = 2
  2. É também dito que a massa é solta do repouso, logo x ' 0 = 0

Assim:

x 0 = 2 = a

x ' 0 = 0 = b ω

Tendo que a = 2 ; b = 0 , teremos:

x h t = 2 e - β t 2 c o s ⁡ ( ω t )

Relembrando β = 1 32 ;     ω = ω 0 2 - β 2 2 = 6 16 - 1 64 2 ≈ 0,6

x h t = 2 e -   t 64   c o s ⁡ ( 0,6 t )

FÁCIL NÉ? (UMA OVA HAHAAHH)

Passo 3

Agora para x p :

x ' ' + β x ' + ω 0 2 x = 5 8 c o s ⁡ ( 3 t )

Façamos 5 8 = F 0

x ' ' + β x ' + ω 0 2 x = F 0 cos ⁡ 3 t

Soluções de uma EDO desse tipo constitui um espaço vetorial de dimensão 2 que comportam infinitas soluções. Deste modo, façamos uma função parecida. Assim:

y ' ' + β y ' + ω 0 2 y = F 0 s e n ( 3 t )

De modo que podemos formar uma função z = x + i y

z ' ' + β z + ω 0 2 z = F o e i 3 t

Façamos z = A   e i 3 t ; z ' = A i 3 e i 3 t ;     z ' ' = A i 3 2 e i 3 t

Ficando:

A e i 3 t i 3 2 + i 3 β + ω 0 2 = F 0 e i 3 t

Ficando:

A = F 0 i 3 2 + i 3 β + ω 0 2

Que ainda constitui um valor que contem imaginário. Estamos resolvendo a equação para um problema real, logo não é normal haver uma parte imaginário. Para eliminá-lo, multipliquemos pelo seu conjugado:

A A * = F 0 i 3 2 + i 3 β + ω 0 2     F 0 i 3 2 + ( - i 3 ) β + ω 0 2

Ficando:

A A * = F 0 2 ω 0 2 - 9 2 + 3 β 2

Logo:

A = F 0 2 ω 0 2 - 9 2 + 3 β 2 = F 0 ω 0 2 - 9 2 + 3 β 2  

Logo:

x p t = A cos ⁡ 3 t = F 0 ω 0 2 - 9 2 + 3 β 2     c o s ⁡ ( 3 t )  

Relembrando: β = 1 32 ;     ω 0 2 = 6 16 ;       F 0 = 5 8

x p t = 5 8 6 1 6 - 9 2 + 3 32 2   c o s ⁡ ( 3 t )

Resposta

Como dito antes, a solução geral é soma das solução homogênea e particular, logo:

x t = 2 e -   t 64 cos ⁡ 0,6 t + 5 8 6 16 - 9 2 + 3 32 2   c o s ⁡ ( 3 t )

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