Enunciado

Uma massa pesando 20 libras distende uma mola em 6 polegadas. A massa é solta inicialmente em repouso de um ponto 6 polegadas abaixo da posição de equilíbrio.

  1. Determine a posição da massa em t = π 12 , π 8 , π 6 , π 4   e 9 π 32   s .
  2. Qual será a velocidade da massa quando t = 3 π 16 s . Qual será o sentido do movimento do peso nesse instante?
  3. Em que instante a massa passa pelo ponto de equilíbrio?

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

É nos dito que a massa distende a mola em 6 polegadas, dessa forma conseguimos achar o valor da constante da mola. Veja:

20 = 6 k → k = 10 3 l i b r a s p o l e g a d a s

Passo 2

Logo temos a EDO:

- k x = m a

Tomando a = x ' '

x ' ' + k m x = 0                                   ( 0.1 )

Fazendo k m = ω 2

x ' ' +   ω 2 x = 0

e λ t λ 2 + ω 2 = 0                             ( 0.2 )

λ = ± i ω                   ( 0.3 )

Logo:

x h t = c 1 e + i ω t + c 2 e - i ω t                             ( 0.4 )

x h t = c 1 cos ⁡ ω t + i s e n ω t + c 2 cos ⁡ ω t - i s e n ω t                     ( 0.5 )

x h t = c 1 + c 2 cos ⁡ ω t + c 1 - c 2 i   s e n ω t                     ( 0.6 )

Fazendo a =   c 1 + c 2   e   b = c 1 - c 2 i

x h t = a cos ⁡ ω t + b s e n ω t                     ( 0.7 )

Para descobrir os valores a e b usemos as condições iniciais. Veja:

  1. É dito que a massa é solta 6 polegadas abaixo da posição de equilíbrio, logo x 0 = 6 .
  2. É também nos informado que a massa é solta incialmente do repouso, logo x ' 0 = 0

Assim:

x 0 = 6 = a

x ' 0 = 0 = ω b

Tendo que a = 6   e   b = 0 a solução é:

x t = 6 cos ⁡ ω t

Lembrando ω = k m = 10 3 20 = 1 6

x t = 6 c o s ⁡ ( 1 6 t )

Passo 3

Para t = π 12 :

x t = 6 cos ⁡ 1 6   π 12 = 5,96   p o l e g a d a s .

Resposta

E assim se segue análogo paras os outros valores:

π 8 = 5,92 ;   π 6 = 5,86 ;   π 4 = 5,69   e 9 π 32 = 5,61 .

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