Responde Aí

Enunciado

Uma massa pesando 24 libras, presa a uma das extremidades de uma mola, distende-a em 4 polegadas. Inicialmente é solta do repouso de um ponto de 3 polegadas acima da posição de equilíbrio. Ache a equação do movimento.

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Sabemos que a EDO do problema é:

m x ' ' + k x = 0

Onde, dados para k :

24 = k   4 → k = 6

Passo 2

Logo refazendo a EDO fica:

x ' ' + 6 24 x = 0

Fazendo 6 24 = ω 2

x ' ' + 1 4 x = 0                               ( 0.1 )

Fazendo x = e λ t ; x ' ' = λ 2 e λ t

e λ t λ 2 + 1 4 = 0                             ( 0.2 )

λ = ± i 1 2                   ( 0.3 )

Logo:

x h t = c 1 e + i 1 2 t + c 2 e - i 1 2 t                             ( 0.4 )

x h t = c 1 cos ⁡ 1 2 t + i s e n 1 2 t + c 2 cos ⁡ 1 2 t - i s e n 1 2 t                     ( 0.5 )

x h t = c 1 + c 2 cos ⁡ 1 2 t + c 1 - c 2 i   s e n 1 2 t                     ( 0.6 )

Fazendo a =   c 1 + c 2   e   b = c 1 - c 2 i

x h t = a cos ⁡ 1 2 t + b s e n 1 2 t                     ( 0.7 )

Passo 3

Para achar os valores de a   e   b , precisamos de informações, como neste caso as condições iniciais. Veja:

Temos que:

  1. É solto de uma posição 3 polegadas acima da posição de equilíbrio, logo x 0 = - 3
  2. É solto do repouso, logo a velocidade inicial é nula, x ' 0 = 0

Assim:

x 0 = - 3 = a

x ' 0 = 0 = b ω .  

Tendo que a = - 3   e   b = 0

x t = - 3 cos ⁡ ω t

Retornando a ω = 6 24 = 1 2 :

x t = - 3 c o s t 2

Resposta

x t =   - 3 cos ⁡ t 2