Responde Aí

Enunciado

Uma massa pesando 32 libras distende uma mola em 2 pés. Determine a amplitude e o período do movimento supondo que a massa seja inicialmente solta de um ponto 1 pé acima do ponto de equilíbrio a uma velocidade inicial, para cima, de 2 p é s . Quantos ciclos completos terá concluído ao fim de 4 π   s ?

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Seguinte, cara... Chega junto.

Temos que a EDO do movimento harmônico simples é:

x ' ' + ω 2 x = 0

Onde:

k m = ω 2

Para char o valor de k temos que:

32 = 2 k → k = 16 l i b r a s p é

Logo voltando à EDO:

x ' ' + ω 2 x = 0                       ( 0.1 )

Passo 2

Fazendo x = e λ t ; x ' ' = λ 2 e λ t

e λ t λ 2 + ω 2 = 0                             ( 0.2 )

λ = ± i ω                   ( 0.3 )

Logo:

x h t = c 1 e + i ω t + c 2 e - i ω t                             ( 0.4 )

x h t = c 1 cos ⁡ ω t + i s e n ω t + c 2 cos ⁡ ω t - i s e n ω t                     ( 0.5 )

x h t = c 1 + c 2 cos ⁡ ω t + c 1 - c 2 i   s e n ω t                     ( 0.6 )

Fazendo a =   c 1 + c 2   e   b = c 1 - c 2 i

x h t = a cos ⁡ ω t + b s e n ω t                     ( 0.7 )

Para achar os valores de a   e   b , precisamos de informações, como neste caso as condições iniciais. Veja:

Temos que:

  1. É solto de uma posição 1 pé acima da posição de equilíbrio, logo x 0 = - 1
  2. É solto com uma velocidade inicial de 2 p é s para cima, x ' 0 = - 2

Assim:

x 0 = - 1 = a

x ' 0 = - 2 = b ω → b = - 2 ω

Passo 3

Logo:

x t = - cos ⁡ ω t - 2 ω s e n ω t

Relembrando ω = k m = 16 32 = 2 2

Logo:

x t = - cos ⁡ 2 2 t - 2 2   s e n 2 2 t

Resposta

Para o período:

Temos que T = 2 π ω . Logo:

T = 2 π k √ m = 2 π m k = 2 π   32 16 = 2 π 2   s

Seja:

1   c i c l o   =     2 π 2

n   c i c l o s = 4 π

Logo:

n = 2   c i c l o s